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第 九 章 线性 回归分析 Regression 党彩萍 内容纲要 什么是回归分析 一元线性回归 一元曲线回归 多元线性回归 第一节 什么是回归分析 函数、相关、和回归的区别 函数：变量X与Y的关系是确定的，Y是X的函数。 Y（周长）=4X（边长）。 相关：一个变量确定值，另一个随之波动。 回归：变量X与Y有一定关系，但还没有密切到由X唯一决定Y的程度，但可确定Y的平均程度。 Y（体重）和X（身高），身高相同的人，体重可能不同。故体重与身高的关系不一定是唯一确定 但随着身高观测值的增加，对应的体重观测值的平均值也会增加。 预测Y变化的平均程度 家庭月消费支出 y对家庭月收入 x的线性回归方程 回归系数 ， 说明家庭月收入每增加1元，消费支出平均增加0.6285元。 说明家庭月收入每增加100元，消费支出平均增加62.85元。 用途－－预测 估计 控制 数学成绩－－理工科成就 智商－－成绩 气流运动、温度空间分布－－降雨 经济指标－－股市行情 什么是回归分析 回归：父母身高极端值时，孩子的身高未必极端，而是向中间收敛。 回归分析（regression analysis）：就是用数学方程式来表达变量Y和X的这种不十分确定的共变关系，这一统计过程称为－。 回归模型：描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项? 的方程称为－。 回归方程：描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 的方程称为－。 回归方程 回答“自变量和因变量之间是什么关系” 方程中运用 1 个数字的因变量(Y,响应变量) 被预测的变量 1 个或多个数字的或分类的自变量 (X,解释变量) 用于预测的变量 相关分析与回归分析的区别联系 ？ （一）概念： （二）相关分析与回归分析的区别 1.相关分析中不必确定自变量和因变量； 而在回归分析中，必须事先确定自变量和因变量，且只能从自变量去推测因变量，而不能从因变量去推断自变量。 2.相关分析不能指出变量关系的具体形式； 而回归分析能确切的指出变量之间关系的具体形式，可根据回归模型从已知量估计和预测未知量。 3.相关分析所涉及的变量一般都是随机变量， 而回归分析中因变量是随机的，自变量则作为研究时给定的非随机变量。 （三）相关分析与回归分析的联系 有共同的研究对象，常常必须互相补充。 只有当变量之间存在着高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。 简单说： 1、相关分析是回归分析的基础和前提； 2、回归分析是相关分析的深入和继续。 相关程度与回归预测 回归分析的基本逻辑 回归模型：y=f(x)+e 在y与若干个 x建立了确定的函数关系后，可利用正态分布表预测y的平均值。 通过评估预测误差的情况，可预测y的范围。 步骤：先确定y与x的函数关系，然后尽可能准确地评估预测误差的大小。 理想的回归方程：1）预测误差总和接近0；2）预测误差的平方和尽可能小。 最小二乘法（图示） 回归模型的类型 第一节 一元线性回归 一、概念要点 一元回归：只涉及一个自变量的回归 一元线性回归：只涉及一个自变量且因变量 y 与自变量 x 之间为线性关系。 回归模型 预测方程（拟合方程） 回归直线 回归系数  散点图和拟合直线 y ＝ b0 ( 8.758) + b1 ( 0.865 ) x 回归系数的含义 入学成绩 x 对期末成绩y预测的线性回归方程 Y= 8.758+ 0.865 x 回归系数 0.865 说明: 平均而言，入学成绩每增加1分，期末成绩将会增加0.865 分。 一元线性回归模型 只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表示为　　　 y = b0 + b1 x+ et 模型中，y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 ?0 和 ?1 称为模型的参数（常数） 误差项 ?t 是随机变量，反映了 除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响 不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性 总结：Y对X的回归 一元线性回归模型 预测方程（也称拟合方程） 如何计算？ 二、最小二乘法 （概念要点） 最小二乘法（图示） 回归方程 a与 b 值的几种情况： 数据总的变动称为总离差平方和，记为SST，它由两部分构成： ⑴被回归方程解释的部分，