Dirac符号.ppt

量子力学教程(第二版) 7.4 Dirac符号 量子力学教程 7.4.1 左矢(bra)和右矢(ket) Dirac符号的优点 1. 毋需采用具体表象 2. 运算简捷 Hilbert空间：由量子体系的一切可能状态构成. 在这个空间中，态用右矢 表示，一般写为 也可以在右矢内填上相应的量子数或本征值来表示 相应的态，如 7.4 Dirac符号 分别表示坐标、动量和能量算符的本征态. 表示角动量算符 的共同本征态. 左矢如 等,则是上述右矢的共轭态矢. 7.4.2 标积 而 定义两个态矢 和 的标积 的形式为 若满足 则称 与 正交。 若满足 则称 为归一化态矢。 若力学量完全集F的本征态(离散)记为 则其正交归一性可写为 对连续谱，比如坐标算符的本征态的正交归一性可写为 而动量算符的本征态的正交归一性可写为 7.4.3 态矢在具体表象中的表示 1. 离散谱的情况 展开系数 在 它是 上的投影.用列矢表示为 可用 展开，即 在F表象中(基矢记为 ),任意态矢量 (4)式代入(3)式,得 表示，即 是一个投影算符，用 (5)式中 式(5)中 是任意的,因此 我们称算符I 为单位算符，这是基矢完备性的表现， 通过以后的学习会发现它有着非常重要的意义. 2. 连续谱的情况 在这种情况下,上述的求和要用积分代替.比如： 运算后，就得到态矢 它对任何态矢 在基矢 方向上的分量矢量 3.两个态矢之间的标积写法 在F表象中，两个态矢 和 之间的标积可如下计算： 7.4.4 算符在具体表象中的表示 在F表象中， 的矩阵元是 (11)左乘 得 设态矢 经算符 的作用后变成态矢 ,即 即 在F表象中的表示为 即 力学量L的本征方程 基矢 方向的投影. 是 在F表象的 分别是态矢 在F表象中的表示 式(15)写成矩阵的形式，有 7.4.5 Schr?dinger方程 Schr?dinger方程可写为 在F表象中表示如下： 即 的平均值用Dirac符号表示为 在 态下， 7.4.6 表象变换 1.态的表象变换 态 在F表象中用 描述， 在F′表象中用 描述， 则此两个表示之间的关系可由下式给出(利用(8)式) 即 式中 是从F→F表象的变换，描述两个表象的基矢之间的关系。 写成矩阵的形式，有 可以简写成 其中S为么正矩阵，即满足 下面用Dirac符号来证明上式 证明：在F表象中 同理可证 2. 算符的表象变换 算符 在F表象中的矩阵元为 在F表象中的矩阵元为 而 写成矩阵的形式是 分别为 在F和F表象中的矩阵 以下讨论连续谱表象，特别是坐标表象和动量表象 (1)在x表象中x的矩阵元很容易写出 本征方程为 本征态的正交归一关系为 任一量子态 在x表象中表示为 通常记为 在x表象中，坐标本征态（本征值为x）表示为 而动量本征态(本征值为p)表示为 类似可以给出动量的本征方程和本征态的正交归一关系为 在动量表象中，动量本征态(本征值为p)表示为 坐标本征态(本征值为x) 表示为 (2)坐标表象与动量表象的变换