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第十一章 正交设计与均匀设计 （于培彦编） 在方差分析一章中，我们介绍了在单因素和双因素的各水平中“选优”的方法，但在科研、生产、管理中，经常遇到的因素更多，如何在多因素多水平中选择最佳水平组合？正交设计和均匀设计就是解决这个问题的有力工具。 §11.1 正交试验设计 设想一个３因素每因素３水平的求最优水平组合问题，总共有个水平组合(处理)，如果每个处理只重复２次，则需要进行54次试验，正交设计可以用较少的试验次数（小区数）找到最优水平组合。 正交设计是利用正交表安排试验的一种设计方法，正交表用符号表示，其中k是这张表最多可以容纳的因素个数，m 是每个因子的水平数，n是试验次数。例如在正交表中，可以安排２～４个因素，每个因素有３个水平的试验。列号1、2、3、4是因素的代号，列号下面的1、2、3是该因素的水平代号(如右表)。当然，无论是因素代号还是水平代号，与实际因素和水平都应随机对应，正交表可以在附表14中查到。 正交表有两个性质：⑴每列中每个水平出现的次数相等，例如上表第2列中1、2、3各出现3次；⑵任意两列同一行的有序数对出现次数相等，例如上表第1、2列中（1，1）只出现一次，其它有序数对也只出现一次，在表第1、2列中（1，1）出现两次，其它有序数对也只出现两次。 这两个性质称为均匀分散性和整齐可比性，均匀分散性使选出的水平组合代表性强，整齐可比性则便于试验数据的统计分析。 一. 不考虑交互作用的正交设计及分析 例1 某厂用车床对车轴进行粗加工，为提高工效，对转速、走刀量和吃刀深度进行正交试验，各因素及其水平如下表： 试验指标为工时，越短越好。 第一步：选择合适的正交表。本例每因素是三水平，在正交表中查m＝3里的表，又因为本例是三因素，且不考虑交互作用，故选用正交表。 第二步：表头设计。将1、2、3、4列用抓阄的办法对应三个因素A、B、C，假定第一列是A因素，第二列是B因素，第三列是C因素，第四列空置。然后将每一列中的1、2、3再用抓阄的办法对应三个水平，假定就是上表中的1、2、3，即第一列中的三个1都表示480转/分，三个2都表示600转/分，三个3都表示765转/分；第二列中的三个1都表示0.33mm/转，…。 第三步：按表中试验号(横着看)所指示的水平组合进行试验，试验号1所指示的水平组合是1，1，1，即用转速480，走刀量0.33，吃刀深度2.5进行试验，试验结果是88秒，如此共进行9次试验，假定试验结果依次是88秒，145秒，194秒，70秒，117秒，155秒，57秒，93秒，123秒。整个试验设计及结果如下表所示。 按设计共进行９次试验，“工时”填在最后一拦。表中的是１号水平的工时之和，例如转速的＝88+145+194＝427，= 427/3＝142.3，极差=142.3－91＝51.3，其余类推。 结果分析：⑴直观分析法。由于，说明“走刀量”各水平引起的工时变化最大，“吃刀深度”最小，因此影响工时的最强烈的因素是“走刀量”，其次是“转速”，最后是“吃刀深度”，当然，这是相对而言的结论。另一方面，转速的最小，说明785的转速所用工时在三个转速里最小；走刀量的最小，说明0.33的走刀量所用工时在三个走刀量里最小；吃刀深度的最小，说明2.5的吃刀深度所用工时在三个吃刀深度里最小，综合起来最优水平组合应当是785转速，0.33走刀量，2.5吃刀深度是最佳水平组合。注意，这个组合在表中９个试验组合中并未出现。上述分析还可用一个折线图直观的表示出来。 ⑵ 方差分析法 转速之间无显著差异；走刀量之间无显著差异；吃刀深度之间无显著差异。 ， 在0.05水平上，三个转速之间有显著差异，三个走刀量之间也有显著差异，三个吃刀深度之间无显著差异。 用新复极差法(SSR法)作多重比较(对转速和走刀量)，用标记字母法表示比较结果。 标准误 结论 ：三个转速之间有极显著差异，三个走刀量之间有极显著差异，三个吃刀深度之间无显著差异，在最佳水平组合是785转速，0.33走刀量，吃刀深度可以是三个中的任一个。在计算过程中，所以影响工时的因素次序是走刀量、转速、吃刀深度。 如果我们将表中空列计算其离差平方和，得 它恰好等于剩余平方和，这不是巧合，而是正交设计的一个性质。 二. 存在交互作用的正交设计 正交设计是解决多因子试验的一种方案，多因子试验的特点就是可能存在交互作用。在存在交互作用的情况时，首先要把所有交互作用通过专业知识和经验筛选一遍，只保留可能有的交互作用。例如A、B、C三因子试验，所有交互作用有A×B、A×C、B×C及A×B×C，一般高级交互作用A×B×C都不考虑，通过专业知识和经验假定只保留A×B，这时把主因子A、B、C 和交互作用A×B共四个因子一起考虑来设计表头，设计表头时交互作用排在那一列必须根据正交表中的提示。 例