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第三章 倒格子与布里渊区 目 录 3.1 引入倒格子的意义 3.2　倒格子的定义 3.3　倒格子的性质 3.4　布里渊区 3.5　晶体的 X 射线衍射 3.1 引入倒格子的物理意义 描述固体的周期性结构中的微观粒子的物理行为可以利用二种类型的格子。 一种是正格子，即，布拉菲格子，是周期性结构在坐标空间的描述； 另一种是倒格子，它是周期性结构在波矢空间(k空间)的描述。 由坐标空间变换到波矢空间更有利于表达周期性结构中微粒的物理行为的特征。在本课程后续内容中有很多例子，如：晶体X射线衍射，晶体原子振动，晶体中电子能量。 初学倒格子概念比较抽象和困难，但倒格子概念是深入学习固体物理学的不能缺少的必要工具。 设，布拉菲格子基矢为 a1,a2,a3， 将由矢量 决定的格子，称为正格子， 将满足下述关系： 的 b1, b2, b3 ，定义为倒格子基矢， 将由 决定的格子，称为Rl的倒格子。 3.2 倒格子的定义 3.2.1 倒格子定义之一 根据以上定义，每个倒格子基矢必与两个正格子基矢正交， 显然，倒格子基矢，也即倒格矢的量纲是 [长度]-1，与波矢的量纲一致。 3.2 倒格子的定义 3.2.2 倒格子定义之二 如： ？ 应有： 由此，可以直接定义倒格子基矢为： 且有： 采用波函数定义倒格子 设有以 a1,a2,a3为基矢的布拉菲格子 并有平面波 。 定义，具有给定布拉菲格子周期性的那些平面波，其波矢 Kh 所代表点的集合称为 Rl 的倒格子。 其数学表达为 ，如有 对于任何 r 和 Rl 成立，那么 Kh 决定的格子就是布拉菲格子 Rl 的倒格子。 3.2 倒格子的定义 3.2.3 倒格子定义之三 其中 b1,b2,b3 由 确定，则以上条件成立。 验证： 可以验证，当波矢Kh取为 倒格子定义之三验证 由以上定义，要求 Kh满足， 3.2 倒格子的定义 这是因为， 3.3 倒格子的性质 3.3.1 倒格子原胞体积 ?*与正格子原胞体积 ? 的关系 可以证明， 分解， 3.3.2 倒格子的倒格子是原布拉菲格子 按倒格子基矢定义构造基矢 c1, c2, c3，可以证明 ci = ai，i = 1,2,3。 Rl，Kh所代表点的集合都是布拉菲格子，且互为正倒格子。事实上在 中 Rl，Kh地位全同。 3.3 倒格子的性质 3.3.3 晶体中物理量的傅里叶变换关系 设，晶体任一 r 处有物理量? (r)， 由晶格的周期性，应有? (r) = ? (r+Rl)，Rl为任意正格矢， 周期性函数可作傅里叶级数展开如下： 即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示满足傅氏变换关系； 正空间周期性物理量的傅氏空间就是其倒空间； 正格子和倒格子互为傅氏变换。 F (Kh)是物理量 ? (r) 在傅氏空间的表示形式 3.3 倒格子的性质 0 a1 a3 a2 3.3.4 倒格矢 与正格子中晶面系(h1h2h3) 正交 因为已知，晶面系 (h1h2h3) 中最靠近原点的晶面 ABC 在基矢a1, a2, a3上的截距分别为 a1/h1, a2/h2, a3/h3，如下图，Gh1h2h3 为晶面 ABC 的法线， a2/h2 a1/h1 a3/h3 C B A Gh1h2h3 3.3 倒格子的性质 3.3.5 倒格矢 的长度是晶面系(h1h2h3) 面间距的 2? 倍 0 a1 a3 a2 C B A a1/h1 a3/h3 a2/h2 Gh1h2h3 3.3 倒格子的性质 3.4 布里渊区 3.4.1 布里渊区定义 定义：在倒格子中，以某一格点为坐标原点，作所有倒格矢的垂直平分面，倒格子空间被这些平面分成许多包围原点的多面体区域，这些区域称为布里渊区。 第一布里渊区：最靠近原点的平面所围的区域。 第二布里渊区：第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围的区域。 第三布里渊区示意。 第 n 个布里渊区是从原点出发，跨过 (n-1) 个垂直平分面达到的所有点的集合。 3.4.2 布里渊区界面方程 令，Kh为倒格矢，如下图， A为Kh的垂直平分面 k为倒空间的矢量 则，A上所有