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四种命题间的相互关系 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。 　　　 例1 “若x2+y2≠0，则x，y至少有一个不为0”是命题A的否命题，写出命题A及其逆命题、逆否命题并判断它们的真假。 解： 命题A:若x2+y2=0，则x，y全都为0； 逆命题：若x，y全都为0，则x2+y2=0； 逆否命题：若x，y至少有一个不为0，则x2+y2≠0。 探究四 一般的，四种命题的真假性，有且仅有以下四种情况： 例2 证明：若x2+y2=0，则x=y=0. 证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0，所以 x2+y2 ＞0， 也就是说x2+y2 ≠0. 因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为 真命题 P8 习题1.1 B组 求证：圆的两条不是直径的相交弦不能平分。 已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分. 证明：假设AB、CD被P平分， 则OP是等腰△AOB, △COD的底边上的中线， 所以，OP⊥AB, OP⊥CD 但AB和CD都经过点P,且与OP 垂直，这是不可能的， 所以假设不成立， 故弦AB、CD不被P平分， 命题得证。 反证法 欲证“若p则q”为真命题，从否定其结论即“非q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非q”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法。 证明命题的方法 巩固练习 证明：若p＋q＞2，则p2＋q2≠2. 证明一：要证“若p＋q＞2，则p2＋q2≠2” 只需证它的逆否命题“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”成立。 ∵p2＋q2=2，则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1 ∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4 ∴p+q ≤2 ∴逆否命题为真命题， 故原命题也为真命题。 证明二：假设p2＋q2=2，则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1 ∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4 ∴p+q ≤2，这与命题的条件p＋q＞2相矛盾， ∴假设不成立，即p2＋q2≠2， 故原命题为真命题。 小结 1.四种命题间的相互关系； 2.四种命题的真假性之间的关系； 3.命题的证明方法。 * * 四种命题间 的相互关系 p q q p ┐p ┐q ┐p ┐q 我们已经知道命题(1)与命题(2)(3)(4)之间的关系，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？ 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若 则 逆否命题 若 则 互 逆 互 逆 互 否 互 否 互为 逆否 互为 逆否 四种命题之间的相互关系 四种命题间的相互关系 否命题 逆命题 互为 逆否 四种命题的真假性是否也有一定的相互关系呢？ 真 真 真 探究一 原命题：到一个角的两边距离相等的点,都在这个角的平分线上. 逆命题:角的平分线上的点,到这个角的两边距离相等. 否命题:到一个角的两边距离不相等的点,都不在这个角的平分线上. 逆否命题:不在这个角的平分线上的点,到这个角的两边距离不相等. 原命题 (真) 逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题 (真) 真 真 真 真 探究二 原命题：若两个三角形全等,则它们的面积相等. 逆命题:若两个三角形的面积相等,则它们全等. 否命题:若两个三角形不全等,则它们的面积不相等. 逆否命题:若两个三角形的面积不相等,则它们不全等. 原命题 (真) 逆命题 (假) 否命题 (假) 逆否命题 (真) 真 真 假 假 探究三 原命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角 逆命题: 若两个角是对顶角，则这两个角相等. 否命题: 若两个角不相等，则这两个角不是对顶角. 逆否命题: 若两个角不是对顶角，则两个角不相等. 原命题 (假) 逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题 (假)  假 假 真 真 原命题：凡是素数，都是奇数. 逆命题: 凡是奇数，都是素数. 否命题: 不是素数，就不是奇数. 逆否命题: 不是奇数，就不是素数. 原命题 (假) 逆命题 (假) 否命题 (