Z变换与离散系统的频域分析.ppt

2.1 Z变换 2.1.1 Z变换的定义 序列x(n)的Z变换定义为 Z变换的收敛域为 使Z变换存在的 的取值域，称为X(z)的收敛域。收敛 域一般用环状域表示，即Rx-|z|Rx+， Rx-和Rx+分别称 为收敛域的最小收敛半径和最大收敛半径。上图所示的 阴影部分即为收敛半径。最小半径可以达到0，而最大 半径可以达到+∞。 常用的Z变换是一个有理函数， 用两个多项式之比表示 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点， 分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。 在极点处Z变换不存在， 因此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。 例2.1：设 ，求它的Z变换，并确定收敛域。 解: 为使X(z)收敛，要求 ，即 ，解得 ，这样得到 就是该Z变换的收敛域。 例2.2：求 的Z变换及其收敛域。 解: 这是一个左序列，当 时，序列值为零。 如果X(z)存在，则要求 ，得到收敛域为 。在收 敛域中，该Z变换为 例2.3 x(n)=a|n|， a为实数， 求x(n)的Z变换及其收敛域。 解： 如果|a|1，公共收敛域为|a||z||a|-1，Z变换如下式： 2.3 逆Z变换 序列的Z变换及逆Z变换表示如下： 1. 用留数定理求逆Z变换 令： 如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，可以根据留数辅助定理(2.5.9)改求c外的所有极点留数之和，使问题简化。 [例 2.5.6] 已知X(z)=(1-az-1)-1，|z|a，求其逆Z变换x(n)。 解： （1）n≥0 时，只有一个极点： 事实上，该例题由于收敛域是|z|a，根据前面分析的序列特性对收敛域的影响知道，x(n)一定是因果的右序列，这样n＜0部分一定为零，无需再求。 围线积分法 已知序列大的Z变换和收敛域，求原序列的公式为 式中，c是X(z)的收敛域中的一条包含原点的逆时针旋转 的封闭曲线，如下图所示。 直接计算围线积分比较麻烦，下面介绍用留数定理求逆Z 变换的方法： 令 ，F(z)在围线c内的极点用 表示， 假设有M个极点。根据留数定理 式中， 表示被积函数F(z)在极点 的留数。求 逆Z变换就是求围线c内所有极点的留数之和。 如果极点是单阶极点，根据留数定理，极点 的留数 用下式计算 如果极点 是N阶极点，根据留数定理，极点的留数 用下式计算 上式表明求多阶极点的留数比较麻烦，可以根据留数辅助 定理改求围线c以外的极点的留数之和，使问题简单化。 如果F(z)在Z平面上有N个极点，围线c内有个极点， 用 表示，围线c外有 个极点，用 表示， 根据留数辅助定理下式成立 上式成立的条件是原序列公式中，被积函数 分母的阶次比分子的阶次高二阶或二阶以上。 假设 ，P(z)和Q(z)分别是z的N阶和M阶多项 式，那么上式成立的条件是 或者 这样，在求逆Z变换时，如果上面条件满足，围线c内有多 阶极点，可以利用上式，改求围线c外的极点的留数之和。 二、幂级数法(长除法) x(n)的Z变换定义为 的幂级数，即 可以用长除法将X(z)写成幂级数， 其系数就是序列x(n)。如x(n)是右序列， 级数是负幂级数；如x(n)是左序列，级数是正幂级数。 例 已知 用长除法求其Z反变换x(n)。 解 由收敛域判定x(n)是右序列，级数应是负幂级数。长除法： 例 已知 ，求Z反变换。 解 2.1.3 Z 变换的性质 1.线性 设 X(z)=Z [x(n)] Rx-|z|Rx+ Y(z)= Z [y(n)] Ry-|z|Ry+