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2012年第 12期 33 2012中国西部数学奥林匹克 中图分类号：G424．79 文献标识码：A 文章编号：1005—64l6(2012)12—0033—04 7．对 n×n的方格表 ，称有公共边的方格 第 一 天 是 “相邻的”．开始时，每个方格 中都写着 1．求最小的正整数m，使得对于任意大 +1，对方格表进行一次操作是指：任取其中 于3的质数P，都有 105I(9 一29+m)． 一 个方格，不改变此方格中的数，而将所有与 (杨 虎 供题) 此方格相邻的方格中的数都改变符号．求所 2．证明：在正 2n一1(n≥3)边形的顶点 有的正整数 n≥2，使得可以经过有限次操 中，任意取出n个点，其中必有三个点，以它 作，将所有方格中的数都变为一1． 们为顶点的三角形为等腰三角形． (沈虎跃 供题) (邹 瑾 供题) 8．求所有的质数P，使得存在无穷多个 3．设E是一个给定的n元集合，A。，4， 正整数 n，满足 … A 是E的k个两两不同的非空子集，满 ， Pl【n +(n+1)】． (陈永高 供题) 足：对于任意的1≤i≤．j}，要么 nA= ， 要么A与A中的一个是另一个的子集．求k 参 考 答 案 的最大值． (冷岗松 供题) 第 一 天 4．已知P为锐角△ABC内部任意一点， 1．注意到，105=3×5×7． 点E、F分别为P在边AC、AB上的射影．BP、 CP的延长线分别与△ABC的外接圆交于点 原题等价于求最小 的正整数 m，使得 B 、C，设△ABC的外接圆、内切圆的半径分 9 一29+m 同时能被3、5、7整除． 一 由P、p的奇偶性相同知 别为尺、r．证明：苦≥素，并确定等号成立 9 一29p+，nE(一1) 一(一1)+m~m(mod5)． 时点P的位置． (李秋生 供题) 所以，m-o(mod5)． 第 二 天 由质数P3，知P是奇数．故 9 一29P+m三一(一1)P+，札兰，+l(mod3)． 5．在锐角△ABC中，日为垂心，0为外 因此 ，m-=2(mod3)． 心(、H、0三点不共线)，点D是A在边BC 由P是一个大于3的质数知 上的射影，线段AO的中垂线与直线BC交于