初中数学竞赛教程初教师版.doc

第1讲 用字母表示数 在初中代数中指出：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。 单独的一个数或一个字母，象-1,0，a，x也是代数式。 上述定义中的“数”，是我们学过的数或指定的数，其中的“字母”，必须是用来“表示数的字母”，一般英语书上的字母不是代数式，因为在使用的场合没约定它代表数。 “用运算符号连接”，一般指加、减、乘、除、乘方、开方等运算，当然也可以是按一定意义规定的运算。 第2讲 图形关系的代数表示 有些数量关系表现为图形中的数量关系，如果能将这些关系表示为代数式，这样就初步地实现了数与形相结合，抽象与直观相结合，对培养数学能力是非常重要的。 第3讲由代数式展开的推理 作为代数式基本功的训练，要学习一些利用代数式的运算展开的推理。 第4讲 有理数的运算 有理数范围内可以进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算，对于相同的有理数相乘，我们规定了简捷算法——有理数的乘方运算，除了要熟悉四则运算的法则之外，还应该注意到： 1、有理数对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算的结果是封闭的（仍是有理数）。 2、在有理数范围内、加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律都成立，乘法对加法的分配律也成立。 3、由于有了正、负数，加法与减法的界限消失，加、减可以互相转换，统一为代数和。如（-3）-7=（-3）+（-7）。在有理数范围内，除法可以转化为乘法，比如（-5）÷7=（-5）。 第5讲 有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．　　 1 计算： （2） 　　+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化． 　　　 　　　 　　2 计算下式的值： 　　211555+445×789+555×789+211×445． 　　 　　=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) 　　　　 　=211(555+445)+(445+555)×789 　　　　 　=2111000+1000×789 　　　　 　=1000(211+789) 　　　　 　=1 000 000 　　 　　3 S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n． 　　1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法． 　　 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n． 　　n的奇偶性进行讨论： 　　n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有：s=（-1）*n/2 　　n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有 　　4 1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 　　1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1． 　　n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0． 　　1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即 (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1． 　　1． 　　 　　 　　(100+2)×(100-2)的值： (100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4 =1002-22． 　　a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为 (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2． 　　于是我们得到了一个重要的计算公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 ① 　　这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算． 　　5 3001×2999的值． 　　 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999． 　　6 103×97×10 009的值． 　　=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=