十节函数的极值与最大最小值.ppt

第十节 函数的极值与最大、最小值 一、函数的极值及其求法 1.函数极值的定义 注意: 2.函数极值的求法 定理 1 (极值第一充分条件) 定理 2 (极值第二充分条件) 二、最大值、最小值问题1.最值的求法 2. 应用举例 利用最值证明不等式 三、小结 定理 (判别法的推广) 则: 且 1) 当 n 为偶数时,x = x0 为极值点 , 且 x = x0 为极小值点 ; x = x0 为极大值点 . 2) 当 n 为奇数时, x = x0 不是极值点 . 但点 (x0 , f (x0 ) ) 是曲线 y=f(x)的拐点 . 点 (x0 , f (x0 ) ) 不是曲线 y=f(x)的拐点 . * 一、函数的极值及其求法 二、最大与最小值问题 设 f(x) 在区间 (a,b) 内有定义 , x0? (a,b) , 若对任意的 x?U(x0, ?) ? (a,b) 且 x ? x0 , 有 (1) f (x) f (x0) , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极大值 , 称点 x0 为 f (x)的一个极大值点; (2) f (x) f (x0) , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极小值 , 称点 x0 为 f (x)的一个极小值点. 函数的极大值与极小值统称为极值, 极大值点与极小值点统称为极值点. 例如 x =1 为极大值点 , f (1)=2是极大值; x =2 为极小值点 , f (1)=2是极小值. 例如 x =0为极小值点 , f (0)=0是极小值. 2) 对常见函数 , 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. 例 x1 , x4 , x6 为极小值点, x2 , x5 为极大值点, x3 不是极值点. 注意: 例如, 函数的驻点及不可导点称为可疑极值点. 函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 设函数 f (x) 在点 x0 处连续,在点 x0 的某去心? 邻域内可导 , (是极值点情形) (不是极值点情形) 求极值的步骤: (1) 求驻点及不可导点 (3) 求极值 (2) 检查 在这些点左右的符号,判断是否为极值点 例1 解 极大值 极小值 不存在 是极大值点， 其极大值为 是极小值点， 其极小值为 证 例2 解 是极大值点， 其极大值为 是极小值点， 其极小值为 注意: 例如 x = 0 不为极值点 . x = 0 为极小值点 . 例 解 例3 求最值步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大那个就是最大值,哪个小那个就是最小值; 则其最值只能在极值点或端点处达到 . 1.求 ; 2.求 的点和 不存在的点: 3.计算 4.比较上述值的大小,有: 例1 解 计算 比较得 例 例 说明: 由于 g (x) 与 f (x) 最值点相同 , 因此也可通过求 g (x) 的最值点来求 f (x) 的最值点 . 最大值, 最小值的特殊情形: 1)如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值) 3)对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出 的可疑点是否为最大值点或最小值点 . 例3 三角形 ABC 的底为 a , 高为 h ,求内接 的最大矩形面积. 实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值; 例4 解 如图, 解得 不等式证明方法小结： (1) 利用中值定理 , (2) 利用单调性 , (3) 利用函数凸性 , (4) 利用最值 . 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为可疑极值点 函数的极值必在可疑极值点取得. 极值判别法 第一充分条件; 第二充分条件; (注意使用条件) 注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式 * *