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哈尔滨工程大学理学院应用数学系 证明:设 与 是 维线性空间 上的两个 范 数,当 时,结论显然成立,当 时 由于范数是连续函数,所以存在有界闭集 使得: 与 都在 上连续,且 时, 令 则 也是 的连续函数,所以,在 上, 可以取最大值和最小值 * * * * * * * * * Department of Mathematics Department of Mathematics * Department of Mathematics Company LOGO Department of Mathematics Department of Mathematics * 矩 阵 论 电 子 教 程 Department of Mathematics, College of Sciences 向量与矩阵的重要数字特征 第 五 章 一,向量范数 设 是数域F上的线性空间，定义在 上的实值函数 如果满足以下条件: 则称此实值函数 是 上的范数。带有给定范数的线性空间 称为赋范空间。 正定性 ，且 齐次性 三角形不等式 §5,1 向 量 范 数 二,两个重要引理 设 引理2（Minkowski不等式）： 其中实数 。 其中 且 引理1（Hoider不等式）： 三,几种常用的范数 证明:只需验证(1)正定性,(2)齐次性,(3)三角不等式 定义1：设向量 ，对任意的数 为向量 的 范数。 称: 设 (1)正定性显然, (2) 对任意的实数 ,由实值函数的定义: (3),由Minkowski不等式知 （2）2－范数 也称为欧氏范数 （3） －范数 （1）1－范数 常用的 范数： 证明: 令 于是有 定理1: 另一方面 故 由此可知 1,记 定义 上的运算为对应分量的运算,则 为线性 空间,定义: 则 是 上的范数, 构成赋范空间 其他重要常见的范数 2,函数的范数 设C[a,b]是由 [a,b]上所有连续函数f(x)所构成的集合,如下三种映射都是C[a,b]的范数. 三,向量范数的性质 1,设 是线性空间 上的两个向量范 数,则对于任意的 ,有: (1), 是 上的范数. (2), 是 上的范数. 2,设 是 维向量空间 上的向量范数,则 (1) (2) 证明:因为 是关于 的实值函数,令: 且记: 则对任意的 可以表示成: 3,设 是 中的向量 的 向量范数,则 必为 的连续函数 于是有: 又由于 是固定向量 的范数,所以,它与 是无关的,所以,当 时,有: 所以 必为 的连续函数 定理2：有限维线性空间 上的任意两个向量范数都是等价的。 四,向量范数的等价 定义：设 是 维线性空间 上定义的两种向量范数，如果存在两个与 无关的正数