第5章线性系统的频域分析法例题解析例5-1已知单位反馈控制系统的.doc

第5章 系统的频域分析法 例题解析 例5-1 已知单位反馈控制系统的开环传递函数 （1）用奈奎斯特判据确定使闭环系统稳定的条件； （2）用奈奎斯特判据确定使全部闭环极点均位于s左半部，且实部的绝对值都大于1的条件； （3）用奈奎斯特判据确定使全部闭环极点均位于s左半部且全部复极点的阻尼系数都大于的条件。 解：（1）此题是Ⅰ型系统，取奈奎斯特路径如图5-1所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成的s平面上的封闭曲线： 正虚轴：s＝jω，频率ω从0＋变化到∞； 半径为无穷大的右半圆： 负虚轴：s＝jω，频率ω从－∞变化到0－； 半径为无穷小的右半圆： 先求与路径①对应的奈奎斯特图，将代入  求与实轴的交点，令解得 与路径②对应的奈奎斯特图是半径为无穷小。角度从－270o逆时针转到270o的圆弧，由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特曲稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以图中略去。 与路径③对应的奈奎斯特图是路径①对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。 与路径④对应的奈奎斯特图是半径为无穷大，角度从90o顺时针转到－90o的圆弧。 画出奈奎斯特图5-2所示。要使闭环系统稳定，要求，即当时闭环系统稳定。 图52 图5-3 （2）此时，取奈奎斯特路径如图5-3所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成的s平面上的封闭曲线： 平行于正虚轴直线：，频率由0变化到∞； 半径为无穷大的右半圆：； 平行于正虚轴直线：，频率由-∞变化到0； 先求与路径①对应的奈奎斯特图 将代入得 注意此时的已不是Ⅰ型系统形式，而是非最小相位传递函数 求与实轴的交点，令, 解得， 画出奈奎斯特图如图5-4所示。 与路径②对应的奈奎斯特图是半径为无穷小，角度从－270o逆时针转到270o的圆弧，由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以图中略去。 与路径③对应的奈奎斯特图是路径①对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。要使此图满足稳定的要求,即当时满足全部闭环极点均位于s左半平面且实部绝对值都大于1的条件。 解二：本题的结果也可以利用劳斯判据来获得，方法是平移坐标轴后再用劳斯判据判断相对稳定的条件。令代入特征方程 整理得 列劳斯阵列如下 要使劳斯阵列第一列都大于零，可解得。当时满足全部闭环极点均位于s平面左半部且实部的绝对值都大于1 的条件，此结果与应用奈奎斯特判据所得结果完全相同。 3) 此时取奈奎斯特路径如图5-5所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成的s平面上的封闭曲线： 与负虚轴成45o角的直线：，频率x由0变化到∞；半径为无穷大的右半圆：由变化到－；与负虚轴成45o角的直线：，频率x由－∞变化到0； 半径为无穷小的右半圆：由－到； 先求与路径①对应的奈奎斯特图，将代入 得 求与实轴的交点，令，解得，与负实轴的交点再求与虚轴的交点，令P(x)＝0，解得为与虚轴的交点值。 图5-5 图5-6 与路径②对应的奈奎斯特图是半径为无穷小，角度从-405o逆时针转到405o的弧，由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以，图中略去。 与路径③对应的奈奎斯特图是路径①对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。 与路径④对应的奈奎斯特图是半径为无穷大，角度从135o顺时针转到-135o的圆弧。 画出奈奎斯特图如图5-6所示，由图可知，满足全部闭环极点均位于s左半部且实部的绝对值都大于1的条件是 即当时满足要求。 解二：此题可用根轨迹法来求，画出根轨迹如图5-7所示，满足题示要求即是要求出根轨迹与阻尼角为45o的射线所夹部分根轨迹增益的范围。 令，则 代入特征方程 可得实部方程 和虚部方程 可解得x＝0和 结合根轨迹图可知，当满足使全部闭环极点均位于s平面左半部且全部复极点的阻尼系数都大于的要求。 例5-2已知开环传递函数，画出与完整的奈奎斯特路径相对应的奈奎斯特图。 （1）确定相对于G(s)H(s)平面的原点的N，P和Z的值。从而判断开环系统是否稳定。 （2）求取相对于－1点的N,P和Z的值。从而判断闭环系统是否稳定。 解一：（1）首先要确定开环零，极点的位置，由于本题开环零点以确定，而分母是以多项式形式给出，所以只要确定开环极点的位置。方法由三种： a）劳斯判据法对开环特征方程，列劳斯阵列如下 由劳斯判据可判断开环特征方