2014年高考数学压轴3.doc

十三、有多少爱可以重来，举杯重庆值得等待 重庆有6道大题，分别是17三角、18概率、19立几、20函数、21解几、22数列. 重庆压轴题是22数列题，有两问，第1问求数列通项，第2问证明数列不等式，这才是压轴题.它是一个“不动点解数列”类型，是奇偶数列当时趋于同一极限值类型.下面分别解析. 74、[重庆17]已知函数（），的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为. ⑴ 求和的值； ⑵ 若（），求的值. [解析] ⑴ 求和的值 首先画草图. 图像上相邻两个最高点的距离就是一个周期，故：. 因此，角频率. 图像关于直线对称，表明在时，函数达到极值， 即： （） ① 由于，，故代入①式得： ，即： 或 因为，所以. ⑵ 若（），求的值. 由得： ② 由于，所以 于是： ③ 则： 本题答案：⑴ ，；⑵ . 75、[重庆18] 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片. ⑴ 求所取3张卡片上的数字完全相同的概率； ⑵ 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列与数学期望. （注：若三个数满足，则称为这三个数的中位数）. [解析] ⑴ 求所取3张卡片上的数字完全相同的概率 记事件“3张卡片上的数字完全相同”为事件. 只有数字1和2的卡片数量不小于3，数字1的卡片方法有，数字2的卡片方法有，9张卡片中任取3张的方法有. 故：. ⑵ 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列 由于数字1和2的卡片数量不小于3，所以中位数可以是1或2. 而数字3的卡片数量2张，当取2张数字是3时，中位数就是3. 故，可能的取值是：，，. 当时，表示所取3张卡片中至少有2张卡片数字是1. 2张卡片数字是1的方法有： 3张卡片数字是1的方法有： 故： B 当时，表示所取3张卡片中至少有2张卡片数字是2，或中间的一张数字是2 . 1张卡片数字是2的方法（1张1,1张2,1张3）： 2张卡片数字是2的方法有： 3张卡片数字是2的方法有： 故： C 当时，表示所取3张卡片中包含有2张卡片数字是3 2张卡片数字是3的方法有： 故： D 的分布列 数学期望 76、[重庆19]如题19图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，，，为上一点，且，. ⑴求的长； ⑵求二面角的正弦值. [解析] ⑴求的长 设的长为，因为是以为中心的菱形，且， 所以，，， 所以，，. 因为底面，所以，，. 在中，由余弦定理得： ① 在中，由勾股定理得： ② 在中，由勾股定理得： ③ 因为已知，故为直角三角形. 由勾股定理得： ④ 在中，由余弦定理得： ⑤ 由④⑤得：，即：，即：，故：. 所以，的长为. ⑵ 求二面角的正弦值. 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立三维直角坐标系. 则：，，，， 由于，， 所以， 于是. A 设平面的法向量为： 则：， 由于， 所以： 令，则由得，代入得： 故： 设平面的法向量为： 则：， 由于， 所以： 令，则由得，代入得： 故： C 向量与夹角的三角函数值为： 记二面角，则二面角的正弦值为. 则 本题答案：⑴ ； ⑵ . 77、[重庆20] 已知函数（）的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为. ⑴ 确定的值； ⑵ 若，判断的单调性； ⑶ 若有极值，求的取值范围. [解析] ⑴ 确定的值 函数： ① 其导函数： ② 由为偶函数得： 即：，即： ③ 由曲线在点处的切线的斜率为得： 即：，即：，即： ④ 由③④得： ⑤ 代入①得： ⑥ ⑵ 若，判断的单调性 将⑤式代入②式得： 即：函数在区间，单调递增. ⑶ 若有极值，求的取值范围 当函数有极值时，在其极值点处有； 故有： 即： ⑦ 由于，故： ⑧ 当且仅当时取等号，即：时取等号. A 当时，，由⑥式得： 其导函数： 当且仅当时取等号. 当时，，即函数在区间，单调递增. 即：在区间，； 在区间，. 可见，不是函数的极值点. B 当时，由⑧式得：， 此时，由⑥⑦式得： 其导函数： ⑨ 当函数取极值时，； 即： 即：，即： 记：，则上式变为： ⑩ 则： 故： 即：，. 即：， 当时，是极大值点，是极小值点； 当时，是极小值点，是极大值点； 故，此时函数有极值. 综上，当函数有极值时， 本题答案：⑴ ，；⑵ 单调递增；⑶. 78、[重庆21] 如题图，设椭圆（）的左右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为. ⑴ 求该椭圆的标准方程； ⑵ 是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径. [解析] ⑴ 求该椭圆的标准方程 由于，所以是半通径.