华南理工大学数学实验实验四.pdf

实验四 迭代与分形 地 点： 4 号楼 4104 房； 实验台号： 66 2017 05 03 实验日期与时间： 年 月 日 评 分： 预习检查纪录： 实验教师： 刘小兰 电子文档存放位置： -66- 电子文档文件名： 卓越班 陈艺荣实验四 批改意见： 1 实验目的 - 了解分形几何的基本特性； - 了解通过迭代方式产生分形图的方法； - 欣赏美妙的分形艺术； - 掌握使用matlab进行编程常用的程序结构； - 掌握matlab软件中plot,fill等函数的基本用法。 2 问题1 2.1 问题描述 1、对一个等边三角形，每条边按照Koch 曲线的方式进行迭代，产生的分 形图称为Koch 雪花。编制程序绘制出它的图形，并计算Koch 雪花的面积。 2.2 实验原理 1、Koch 曲线 将一根线段三等份，并将中间段用以该段为边的等边三角形的另外两边替 代，如图 1所示。给定线段AB，科赫曲线可以由以下步骤生成： （1）将线段分成三等份 （AC,CD,DB）； （2）以CD 为底，向外 （内外随意）画一个等边三角形DMC； 1 （3）将线段CD 移去； （4）分别对AC,CM,MD,DB 重复1~3。 (a)Koch 曲线一次迭代的示意图 (b)Koch 曲线经过若干次迭代的示意图 图 1Koch 曲线的形成过程 2、Koch 雪花迭代过程 对一个等边三角形，每条边按照Koch 曲线的方式进行迭代，产生的分形图 称为Koch 雪花，如图 2 所示。步骤如下： （1）任意画一个等边三角形，并把每一边三等分； （2）取三等分后的一边中间一段为边向外作等边三角形，并把这 “中间一 段”擦掉； （3）重复上述两步，画出更小的等边三角形。 （4）一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做Koch 雪花。 图 2Koch 雪花产生过程示意图 2 3、Koch 雪花面积计算公式 经过k 次迭代的Koch 雪花图面积计算公式如下： k 3 1 i 2 i S (k )  (( ) N ) 3 (1) i 0 4 3 式中，N 为第0 次迭代时的正三角形的边长。 2.3 算法与编程 2.3.1 编程描述 根据迭代原理，在等边三角形的三条边上分别按照科赫曲线的迭代规律进行 转化，即可形成Koch 雪花。Koch 曲线的迭代规律为将一条线段三等份，并将中 间段用以该段为边的等边三角形的另外两边替代。每次迭代在原图形的每条边上 重新生成一个边长为原边长三分之一的小等边三角形。据此可以计算出Koch 雪 花的面积。 仿照Koch 曲线代码对三角形的每条边进行Koch 曲线化，函数的输入参数 有三角形的迭代次数k 和三角形的边长N，输出Koch 雪花图形以及返回Koch 雪花所围面积S。 2.3.2 实现代码 1、Shiyan4.m，该M 文件是脚本文件，通过调用plotkoch 实现绘制雪花图并且 计算面积。 %shiyan4.m 数学实验4Koch 雪花图测试脚本文件 % M 文件说明：本文件是测试用 文件 % S Koch 雪花图的面积 %