双圆弧拟合.pdf

曲线拟合算法的研究 3.1 引言 随着航空、汽车等现代工业与计算机技术的发展，圆锥曲线与列表点曲线已经成为 形状数学描述的常用方法，得到了广泛的应用。为了满足激光切割加工任务的需要，自 动编程系统集成了多种曲线拟合算法，这样利用现有的激光切割机，即可实现特殊曲线 的插补功能，极大地丰富系统的插补能力，满足复杂的生产要求。 3.2 圆锥曲线拟合算法的研究 在经济型数控系统中，对于圆锥曲线即平面二次曲线的加工是数控加工中经常遇到 的问题，随着数控加工对圆锥曲线插补的需求，近年来有关各种圆锥曲线的插补算法应 运而生[26] 。常用的解决方法是先用低次的有理参数曲线拟合或将其离散，再用直线、圆 弧逼近，然后才能进行数控加工[28] 。本章从一个新的视角利用双圆弧方法，提出先对圆 锥曲线进行标准化处理，再用双圆弧拟合逼近，然后再进行数控加工。这样的优点是： 圆弧样条的等距曲线还是圆弧；双圆弧样条能达到 C1 连续，基本上能满足要求；所有 数控系统都具有直线插补和圆弧插补功能，无需增加额外负担。 由于工程应用不同，对曲线拟合的要求也不同。有的只要求拟合曲线光滑，有的要 求光顺[9-10] 。本章中开发的软件要求是：支持多种常用圆锥曲线的拟合；拟合曲线要求 光滑；拟合曲线与函数曲线间的误差应控制在允许的范围之内，且拟合圆弧段数较少。 本章提出的对圆锥曲线的插补，是建立在对平面任意二次曲线可以进行分类的基础 上，先将二次曲线进行分类，然后对各类曲线分别进行双圆弧拟合，这样就可以直接利 用数控系统的圆弧插补功能进行插补。 3.2.1 圆锥曲线的一般理论[9] 在平面直角坐标系中，二元二次方程所表示的曲线称为二次曲线。其中系数A 、B 、 C 、D 、E 、F 为实常数，且A 、B 、C 不同时为零。 Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0 (3.1) 式（3.1 ）称为圆锥曲线的隐式方程。令  B 2 4AC （3.2 ） 称上式为二元二次方程（3.1 ）的判别式。 0 时，（3.1 ）式为椭圆型曲线（包括圆、椭圆和虚椭圆）；  0 时，（3.1 ）式为抛物线型曲线（包括两平行直线和虚直线）； 1 0 时，（3.1 ）式为双曲型曲线（包括两相交直线）。 在不同的坐标系下，平面上一点的坐标、一条曲线的方程是不同的。通过利用坐标 变换（即坐标轴的平移和旋转），可以将一般二次曲线方程化成最简形式，借以确定曲 线的形状和位置。 一、坐标轴的平移 只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和长度单位，这样的坐标变换叫做 坐标轴的平移，简称平移或移轴。    将旧坐标系oxy 平移到o x y ,那么平面上任一点M 在旧坐标系与新坐标系的坐标 (x , y ) 和(x ,y ) 具有关系：  x x x0   （3.3 ） y y y 0  其中(x 0 ,y 0 ) 是新坐标系中的原点o 在旧坐标系里的坐标。公式（3.3 ）叫做平移变换公 式。 二、坐标轴的旋转 坐标原点的位置和长度单位都不改变，让坐标轴绕原点按同一方向旋转同一个角 度，这种坐标变换叫做坐标轴的旋转，简称旋转或转轴。    把旧坐标系oxy 绕原点o 旋转同一个角度到o x y