实变函数中南第五章积分论.pdf

《实变函数》电子教案 第五章 积 分 论 （总授课时数 16学时） §5.1 Riemann 积分 教学目的 本节给出了函数Riemann可积的几个充要条件, 分析了经典积分存在的不足之 处,建立性的积分的必要性. 本节要点 函数 Riemann可积当且仅当f 不连续点及测度为零. Riemann积分关于极限 f 与积分次序可交换要求f 一致连续， 应用 L N 公式要求f 导数连续， 这些条件限制了 Riemann积分应用范围，Lebesgue 积分正好克服了这些不足. 本节难点 函数 Riemann可积当且仅当f 不连续点及测度为零的证明. f 授课时数 2学时 —————————————————————————————— 在介绍Lebesgue 积分之前，我们先将它的前身——Riemann 积分作一回顾，并从测度 观点建立一个可积的充要条件． R 积分通常有两种定义，其一是大家熟知的“极限式”定义（即作为积分和的极限）， 另一是“确界式”定义。 一、Riemann 积分的定义 1、极限式定义 设函数f (x ) 在[a,b]上有界，在[a,b] 中任意插入若干个分点 a x x x x x b 0 1 2 n1 n 把区间[a,b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为xi xi xi1 ，(i 1,2, ) ，在各 n 小区间上任取一点 （ x ），作乘积f ( )x (i 1,2, ) 并作和S f ( )x ， i i i i i i i i 1 记 max{x , x , , x } ，如果不论对[a,b] 怎样的分法，也不论在小区间[x ,x ] 上 1 2 n i1 i 点 怎样的取法，只要当0 时，和S 总趋于确定的极限我们称这个极限I 为函数f (x ) i 在区间[a,b]上的定积分，记为 b n f (x )dx I lim f ( )x a 0 i i i 1 2、确界式定义