实数完备性的六大基本定理的相互证明(共30个).pdf

1 确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。 2 单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。 3 区间套定理 若 {[a ,b ]} 是一个区间套, 则存在唯一一点 ，使得 n n   [a ,b ], n 1,2, 。 n n 4 Heine-Borel 有限覆盖定理 设 是一个闭区间， 为 上的一个开覆盖，则在 [a,b]  [a,b]  中存在有限个开区间，它构成[a,b] 上的一个覆盖。 5 Weierstrass 聚点定理 （Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。） 直线上的有 解无限点集至少有一个聚点。 {a }  6 Cauchy 收敛准则数列 收敛 对任给的正数 ，总存在某一个自然数 ，使得  N n m,n N 时，都有| am  an |  。 一.确界原理 1.确界原理证明单调有界定理 证 不妨设{ an}为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ an }有上确界,记 a = sup{ an}.下面证明a 就是{ an} 的极限. 事实上,任给ε 0, 按上确界的定 义,存在数列{ an }中某一项aN ,使得a - ε aN .又由{ an}的递增性,当n≥ N 时有a - ε aN ≤ an. 另一方面,由于a 是{ an}的一个上界,故对一切an 都有an ≤ a a + ε.所以当 n≥ N 时有 a - ε an a + ε, 这就证得 an = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界. 2.确界原理证明区间套定理 证明：１ 设 ［ａｎ，ｂｎ］ 是一个闭区间套，即满足： １） ∀ ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］⊂ ［ａｎ，ｂｎ］； ２） ｂｎ－ａｎ ＝ 我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ ∈ ［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯） 存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ 有上确界，设supＳ ＝ξ ．现在，我们证明ζ属于每个闭区间［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２， ⋯）显然 ａｎ ≤ξ，（ｎ ＝１，２，⋯） 所以，我们只需证明对一切自然数ｎ，都有ξ≤ｂｎ． 事实上，因为对一切自然数ｎ，ｂｎ都是Ｓ 的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有 ξ≤ｂｎ ，故我们证明了存在一实数ξ，使得ξ ∈ ［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）    唯一性: 假设还有另外一点 R 且 [a ,b ] ，则|  || a b | 0, n n n n  即  。从而唯一性得证。 3.确界原理证明有限覆盖定理 即闭区间［ａ，ｂ］的任一开覆盖Ｈ 都有有限的子覆盖 证① 令Ｓ ＝ ｛ｘ｜ａ＜ｘ ≤ｂ，［ａ，ｘ］能被Ｈ 中有限个开区间覆盖｝； ②显然Ｓ有上界 因Ｈ 覆盖闭区间［ａ，ｂ］，所以，存在一个开区间（α，β）∈Ｈ 使 ａ ∈ （α，β） 取ｘ ∈ （α，β），则［ａ，ｘ］能被Ｈ中有限个开区间覆盖 从而， ｘ ∈Ｓ，故Ｓ非空； ③ 由确界原