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维普资讯 第37卷第3期 数 学 进 展 Vo1．37，No．3 2008-~3月 ADVANCESIN M ATHEMATICS June，2008 李三系的根基与次理想 田明欣 ，张知学 (1_河北软件职业技术学院，保定，河北，071000；2．河北大学，保定，河北，071000) 摘要：本文讨论李三系的可解根基和 Hopkins幂零的某些性质及导子作用下的不变性，讨论 了李三系次理想的某些性质，证明了李三系为幂零的当且仅当每个子系都是次理想． 关键词：李三系；李代数；可解；幂零 MR(2000)主题分类t17A40／中图分类号tO152．5 文献标识码：A 文章编号t 1000-0917(2008)03-0365-09 E．Caxtan首先提出李三系的概念，并且在研究全测地子流形及对称空间中给以刻画．在几 何上，实李三系完全等价于某一类单连通对称空间，而李三代数又相当于流形上解析齐性系统 的切向量代数．因此，李三系的进一步讨论对于几何的某些领域的研究具有重要意义．Jordan 首先用代数的观点来刻画并讨论李三系． Lister[】仔细研究了特征为零的域上李三系的结构， Yamaguti[s]将李三系的概念推广为李三代数．此外，李三系与其他的代数分支如Jordan代数与 Jordan三系有密切联系．同时任何一个李三系都可以嵌入到一个李代数中，从而可以借助于李 代数的方法来研究离散系，而利用某些三系，如 Jordan，Kantor三系等都可以构造单李代数． 这表明，对三元系 (如 Jordan三系和李三系等)的研究无论在集合上还是代数上都具有重要的 价值． 定义 1 设 是域 F上的线性空间， 连通一个3-线性映射 (，Y，z)一 [，Y，z】∈T称 为李三系，若 [Yz】=一[3，z】； (1) [YZ】+[YZ 】+[Z Y】=0； (2) [V[Yz】】=[[V 】YZ】+[[VY】Z】+[Y[Vz】】 (3) 以下我们假定李三系 的维数为有限的，且域 F的特征为零． 例 1 设 是李代数，乘积为 (，Y)一 [，引，则L关于 Yz)一 Yz】=[IxY】z】是一 个李三系． 例 2 设 为域F上的一个结合三系，其乘法为 Yz)，定义 Yz】=(Yz)一(Y z)一 (Z Y)+(ZY )，则 连同 [】为一个李三系． 定义 2 的子空间A称为 的子系，记作A ，如果 AA】CA，T1=T[TT】称为 的导系． T =0时，称 为交换的． 收稿 日期： 2004-06-28．修改稿收到 日期： 200-609-21 E-mall：}bdt_,nx@~sina．com 维普资讯 数 学 进 展 37卷 定义 3 设 为李三系，若 的子空间 满足 [ CI，称 为 的—个理想，记作 I司T． 由李三系的定义中 (1)，(2)可知，若 I司T，则 [ T]CI，T[TI]CI． 、 定义 4 设 为李三系，定义双线性映射 ：T×T— EndT，(Y)一 L(x )，其中 L(xY)z= Yz](Vz∈ )，称L(xY)是 的一个左乘变换． 定义 5 设 为李三系，称 D ∈EndT是 的一个导子，若 D[xYz]= [DxYz】+ Dyz]+ YDz]，V Yz∈T，或等价地 [DL(x)]=L(DxY)+L(xDy)，T的所有导子的全 体 D(T)是一个李代数