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用蒙特卡洛方法估计积分值 一.实验目的： 1. 步了解蒙特卡洛算法及其用途 2.利用蒙特卡洛算法计算积分值并与其真实之进行比较 二.实验原理： 做Monte Carlo 时，求解积分的一般形式是： X 为自变量，它应该是随机的，定义域为(x0,x1)，f(x)为被积函数，ψ(x)是x 的概率密度。 Monte Carlo 步骤： 1．依据概率分布ψ(x)不断生成随机数x, 并计算f(x) 由于随机数性质，每次生成的x 的值都是不确定的，为区分起见，我们可以给生成的x 赋予 下标。如x 表示生成的第i 个x 。生成了多少个x ， 可以计算出多少个f(x) 的值 i 2 ．误差分析 Monte Carlo 方法得到的结果是随机变量，因此，在给出点估计后，还需要给出此估计 值的波动程度及区间估计。严格的误差分析首先要从证明收敛性出发，再计算理论方差，最 后用样本方差来替代理论方差。 三．实验内容： 第一题 估计积分，并将估计值与真值进行比较 3 (1). x 2 dx 2 将被积函数展开成[2,3]上的均匀分布，f x (x) 1 h(x) x 2 真值为6.3333 程序内容 运算结果 p 2 x sin xdx （2 ） 0 p 2 p 将被积函数展开为[0, ]上的均匀分布，f x (x ) ，h(x ) x sin x 2 p 2 真值为 1 程序内容 运算结果 2 ex dx （3 ） 0 ( ) 将被积函数展开为 （0, ）上参数为2 的卡方分布，f(x )= ,ℎ = 2 程序内容 运算结果： 第二题 估计积分，并对误差进行估计 （1）.∫ ( ) 将被积函数展开为(0,1)均匀分布，f(x )=1,ℎ = 程序内容 运算结果 (2)∫ √ ( ) 将被积函数展开为(0,10)上的均匀分布，f(x )=0.1,ℎ = √ 程序内容 四.实验总结： 通过实验了解了概率论在值估计及生活中的运用。 通过对上面五个问题的求解知道，由于随机数的任意性，虽然计算机每次的 运行结果都是不一样的，但是结果往往与理论值偏差不大。