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第3章 时域分析法 3.1 系统性能指标及动态性能分析 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析 3.4 高阶系统的时域分析 3.5 控制系统的稳定性分析 3.6 控制系统的稳态误差分析 习题 3.1 系统性能指标及动态性能分析 3.1.1 典型输入信号和时域性能指标 1. 常用的输入信号 控制系统的动态性能是通过系统的动态响应过程来评价的。 而系统的动态响应不仅取决于系统本身的结构参数， 还与系统的初始状态及输入信号有关。 为了便于在统一的条件下进行分析和设计， 一方面， 假定在输入信号作用于系统的瞬时(t=0)之前系统相对静止， 即为零初始状态； 另一方面， 也需要假定一些典型的输入信号作为系统的试验信号。 典型的输入信号一般应具备以下两个条件： (1) 典型信号应具有一定的代表性， 而且其数学表达式简单， 以便于数学分析、 计算与处理。 (2) 典型信号应易于在实验室获得。 因此， 在控制工程中常采用下述五种信号作为典型的输入信号。 1) 阶跃信号 阶跃输入信号表示输入量的瞬间突变过程， 如图3-1(a)所示。 它的数学表达式为 其中， R0为常量。 当R0=1时， 称为单位阶跃函数， 记为1(t)。 在时域分析中， 阶跃信号用得最为广泛。 实际中， 电源的突然接通、 负载的突变等均可近似看作阶跃信号。 2) 斜坡信号 斜坡信号表示由零值开始随时间t线性增长的信号， 如图3-1(b)所示。 它的数学表达式为 3) 抛物线信号 抛物线信号亦称等加速度信号， 它表示随时间以等加速度增长的信号， 如图3-1(c)所示。 其数学表达式为 4) 脉冲信号 脉冲信号可看作一个持续时间极短的信号， 如图3-2(a)所示。 它的数学表达式为 且其面积（又称脉冲强度）为 5) 正弦信号 正弦信号如图3-3所示， 它的数学表达式为 3.1.2 控制系统的性能指标 控制系统的性能指标常分为动态性能指标和稳态性能指标。 动态性能指标又可分为跟随性能指标和抗扰性能指标。 在自动控制原理中所讨论的系统动态性能指标， 一般是指跟随性能指标。 1. 跟随性能指标 在给定信号r(t)的作用下， 系统输出c(t)的变化情况可用跟随性能指标来描述。 设图3-4所示为控制系统典型的阶跃响应曲线， 据此定义常用的跟随性能指标如下。 ? 1) 上升时间tr 上升时间tr指系统输出响应从0开始第一次上升到稳态值所需的时间。 tr小， 表明系统动态响应快。 2) 峰值时间tp 峰值时间tp指系统输出响应由0开始， 越过第一次稳态值到达峰值所需的时间。 3) 超调量σ% 超调量σ%指系统输出响应超出稳态值的最大偏离量占稳态值的百分比。 4) 调节时间ts 调节时间ts指系统的输出响应达到并保持在稳态值的±5%（或±2%）误差范围内， 即输出响应进入并保持在±5%（或±2%）误差带之内所需的时间。 ts小， 表示系统动态响应过程短， 快速性好。 5) 振荡次数N 振荡次数N指在调节时间内， 系统输出量在稳态值上下摆动的次数。 次数少， 表明系统稳定性好。 2. 稳态性能指标 控制系统的稳态性能一般是指其稳态精度， 常用稳态误差ess来表述。 稳态误差ess是指系统期望值与实际输出的最终稳态值之间的差值。 ess小， 说明系统稳态精度高。 3.2 一阶系统的时域分析 当控制系统的数学模型为一阶微分方程式时， 称其为一阶系统。研究如图3-5所示的一阶系统。 在物理上， 这个系统可以表示一个RC电路， 也可以表示一个热系统等。 系统的输入-输出关系为 3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应 设输入 其单位阶跃响应曲线如图3-6所示。 由方程(3-15)可以看出， 输出响应的初始值等于0， 而最终将变成1。