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第二十二章 模糊数学模型 §1 模糊数学的基本概念 1.1 模糊数学简介 1965 年，美国著名计算机与控制专家查德(L.A.Zadeh)教授提出了模糊的概念，并 在国际期刊《Information and Control》发表了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文 “Fuzzy Sets ”(模糊集合) ，开创了模糊数学的新领域。 模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性”或“亦此亦彼性”。如高个子 与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境污染严重与不严重等。在决策中，也有 这种模糊的现象，如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？好干部与不好干部之间 没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很难用经典的数学来描述。 模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。它作为一门崭新的学科，它 是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。经过短暂的沉默和争议之 后，迅猛的发展起来了，而且应用越来越广泛。如今的模糊数学的应用已经遍及理、工、 农、医及社会科学的各个领域，充分的表现了它强大的生命力和渗透力。 统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然 现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域，即 从精确现象到模糊现象。 实际中，我们处理现实的数学模型可以分成三大类：第一类是确定性数学模型，即 模型的背景具有确定性，对象之间具有必然的关系。第二类是随机性的数学模型，即模 型的背景具有随机性和偶然性。第三类是模糊性模型，即模型的背景及关系具有模糊性。 1.2 基本概念 1.2.1 模糊集和隶属函数 定义 1 论域X 到[0,1] 闭区间上的任意映射 μ ：X →[0,1] A x →μ (x) A 都确定X 上的一个模糊集合 A ，μ 叫做A 的隶属函数，μ (x) 叫做x 对模糊集 A 的 A A 隶属度，记为： A {(x ,μ (x)) | x ∈X } A 使μ (x) 0.5 的点x 称为模糊集 A 的过渡点，此点最具模糊性。 A 0 显然，模糊集合A 完全由隶属函数μ 来刻画，当μ (x) {0,1} 时，A 退化为一 A A 个普通集。 1.2.2 模糊集合的表示方法 当论域X 为有限集时，记X {x , x , L, x } ，则X 上的模糊集A 有下列三种常 1 2 n 见的表示形式。 i) zadeh 表示法 当论域X 为有限集时，记X {x , x , L, x } ，则X 上的模糊集A 可以写成 1 2 n n μ (x ) μ (x ) μ (x ) μ (x ) A ∑ A i A 1 + A 2 +L+ A n i 1 xi x1 x2 xn μ (x ) 注：“ ”和“+ ”不是求和的意思，只是概括集合诸元的记号；“ A i ”不是