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第八章 差分方程模型 差分方程是解决离散时间问题的常用的数学方法，本章介绍几个用差分方程建立的实际问题的数学模型。 8.1个人住房抵押贷款 随着经济的发展,金融问题正越来越多地进入普通市民的生活，贷款、保险、养老金和信用卡等都涉及金融问题，个人住房抵押贷款是其中最重要的一项。1998年12月,中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如下表所列: 表8.1 中国人民银行贷款利率表 贷款期限 半年 一年 三年 五年 五年以上 利率﹪ 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56 当贷款期处于表中所列相邻年限之间时利率为对应相邻两数中较大者。其后,上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整。表8.2和表8.3分别列出了上海市个人住房商业抵押贷款年利率和商业抵押贷款(万元)还款额的部分数据(仅列出了五年)。 表8.2 上海市商业银行住房抵押贷款利率表 贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年 利率﹪ 6.12 6.225 6.390 6.525 6.660 表8.3 上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表 贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年 月还款（元） 到期一次还清 本息总和（元） 10612.00 444.36 10664.54 305.99 11015.63 237.26 11388.71 196.41 11784.71 一个自然的问题是,表8.2和表8.3是如何依据中央人民银行公布的存、贷款利率水平制定的？ 我们以商业贷款10000元为例,一年期贷款的年利率为6.12﹪,到期一次还本付息总计10612.00元,这很容易理解。然而二年期贷款的年利率为6.225﹪,月还款数444.36元为本息和的二十四分之一,这后两个数字究竟是怎样产生的？是根据本息总额算出月还款额，还是恰好相反？让我们稍微仔细一些来进行分析。由于贷款是逐月归还的,就有必要考察每个月欠款余额的情况。 设贷款后第k个月时欠款余额为Ak元，月还款m元,则由Ak变化到Ak+1,除了还款额外,还有什么因素呢？无疑就是利息。但时间仅过了一个月,当然应该是月利率,设为r,从而得到 =r -m 或者 Ak+1=(1+r)Ak-m , k=1，2… (8.1) 初时条件 A0=10000 (8.2) 这就是问题的数学模型。其中月利率采用将年利率R=0.06255平均。即 r=0.06255/12=0 (8.3) 若m是已知的,则由(8.1)式可以求出Ak中的每一项,我们称(8.1)式为一阶差分方程。 模型解法与讨论 （1）月还款额 二年期的贷款在24个月时还清,即 A24=0 (8.4) 为求m的值,设 ，k=1,2,… (8.5) 易见 于是导出Bk的表达式 Bk=B1(1+r)k-1, k=1,2,… (8.6) 由(8.5)式与(8.6)式得 Ak-A0=B1+B2+…+Bk=B1[1+(1+r)+…+(1+r)k-1] =(A1-A0)[]=[(1+r)A0-m-A0][ [] 从而得到差分方程(8.1)的解为 Ak=A0(1+r)k-m[(1+r)k-1]/r, k=1,2,… (8.7) 将A24,A0,r的值和k=24代入得到m=444.36(元),与表8.3中的数据完全一致,这样我们就了解了还款额的确定方法。 当然还款额表的制定依赖于年利率表,而后者又是怎样制定的呢？尽管我们无法获知银行方面的各种考虑,但还是可以通过比较分析得出一些结论。首先注意表8.2商业性贷款利率中有两个数据与中央银行公布的表8.1中的数据相同,不过相应的贷款年限则放宽了一档:6.12﹪是一年期,而在表8.1中是上一档半年期,6.66﹪是五年期而在表8.1中是上一档三年期。其次再考察表8.2商业性贷款二、三、四年期的利率,我们把这三个数字是如何得到的问题留给读者。 依