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第六章 微分中值定理及其应用 （14学时） 引言 在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。 另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。 本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用。 §1.拉格朗日定理和函数的单调性 教学目的: 掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。掌握讨论函数单调性方法； 教学要求:（1）深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握定理的证明方法，知道定理之间的包含关系。（2）深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式。 教学重点: 中值定理；用辅助函数解决问题的方法。 教学难点: 定理的证明；用辅助函数解决问题的方法。 学时安排: 2学时 教学方法: 系统讲解法。 一、一个几何命题的数学描述 为了了解中值定理的背景，我们可作以下叙述：弧上有一点P，该处的切线平行与弦AB。如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？ 联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”，故如建立坐标系，则弧的函数是y=f(x)，x[a,b]的图像，点P的横坐标为。如点P处有切线，则f(x)在点处可导，且切线的斜率为；另一方面，弦AB所在的直线斜率为，曲线y=f(x)上点P的切线平行于弦AB。 撇开上述几何背景，单单观察上述数量关系，可以发现：左边仅涉及函数的导数，右边仅涉及函数在端点的函数值。这样这个公式就把函数及其导数联系起来。在二者之间架起了一座桥梁，这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础。鉴于，故把类似公式称为“中值公式”；把类似的定理称为中值定理。 剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实，可以发现：如果y=f(x)在[a,b]上不连续或不可导（无切线），是不一定有上述结论的。换言之，如保证类似点P存在，曲线弧至少是连续的，而且处处有切线。反映到函数y=f(x)上，即要求y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。 二、中值定理 Lagrange中值定理：若函数f满足以下条件：（1）f在[a,b]上连续；（2）f在(a,b)内可导。则在(a,b)内至少存在一点，使得。 特别地，当f(a)=f(b)时，有如下Rolle定理： Rolle定理：若f满足如下条件：（1）f[a,b]；（2）f在(a,b)内可导；（3）f(a)=f(b)，则存在(a,b)，使得。 如把曲线弧用参数方程函数，则可得出以下中值定理： Cauchy定理：若函数f，g（x＝g(u)，y＝f(u)，u[a,b]）满足如下条件：（1）；（2）f，g在(a,b)内可导；（3）至少有一个不为0；（4）g(a)g(b)。在存在(a,b)，使得。 说明（1）几何意义：Rolle：在每一点都可导的连续曲线，如果曲线两端点高度相同，则至少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）；Lagrang：可微曲线上存在一点，使其切线平行于端点的连线；Cauchy：视为曲线的参数；u=f(x)，v=g(x)，x[a,b]，则以v为横坐标，u为纵坐标可得曲线上有一点，该处切线与曲线端点连线平行。（2）三个定理关系如下： （3）三个定理中的条件都是充分但非必要。以Rolle定理为例，三个条件缺一不可。1）不可导，不一定存在；2）不连续，不一定存在；3）f(a)f(b)，不一定存在。“不一定存在”意味着一般情况如下：Rolle定理不再成立。但仍可知有的情形发生。如y=sgnx，x[-1,1]不满足Rolle定理的任何条件，但存在无限多个(-1,1)，使得。（4）Lagrang定理中涉及的公式：称之为“中值公式”。这个定理也称为微分基本定理。中值公式有不同形式：（ⅰ）f(b)-f(a)=(b-a) ，(a,b)；（ⅱ）f(b)-f(a)=，01；（ⅲ）f(a+h)-f(a)=，01. 此处，中值公式对ab，ab均成立。此时在a，b之间；（ⅱ）、（ⅲ）的好处在于无论a，b如何变化，易于控制。 三、中值定理的证明(略) 四、极值 定义3（极值） 若函数f在区间I上有定义，。若存在的邻域，使得对于任意的，有，则称f在点取得极大值，称点为极大值点。若存在的邻域，使得对于任意的，有，则称f在点取得极小值，称点为极小值点。 极大