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数值分析教案 赖志柱 第一章 数值分析引论（4学时） 一、教学目的 了解误差的来源及分类；理解并熟练掌握绝对误差（界）与相对误差（界） 的含义及关系；理解有效数字及其与误差的关系；了解误差对计算的影响；理解 稳定性概念及减小误差的几种方法。 二、教学重点 绝对误差 （界）与相对误差 （界），有效数字，误差运算及分析减小误差的 几种方法。 三、教学难点 有效数字，误差运算及分析避免误差的几种方法。 四、教学方法 五、教学内容 1.1 数值分析的对象、作用与特点 1.1.1 数学科学与数值分析 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧 密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。 数值分析也称计算数学，是数学科学的一个分支，主要研究用计算机求解各 种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。 用计算机求解科学技术问题通常的步骤： （1）根据实际问题建立数学模型；（应用数学的任务） （2）由数学模型给出数值计算方法；（可靠、高效的算法） （3）根据计算方法编制算法程序（数学软件）在计算机上计算出结果。 其中（2）和（3）是计算数学的任务。 数值分析的主要内容包括插值与逼近、数值微分与数值积分、线性方程组的 数值求解、非线性方程与方程组求解、特征值计算、常微分方程数值解等。 数值分析也是以数学问题为研究对象，但它不像纯数学那样只研究数学本身 的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论。 数值分析是一门内容丰富、研究方法深刻、有自身理论体系的课程。 数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用数学的广泛 性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强 的数学课程。 1.1.2 计算数学与科学计算 计算数学是数学的一个分支，研究如何用计算机解决各种数学问题的科学， 它的核心是提出和研究求解各种数学问题的高效而稳定的算法。 计算数学的主要内容包括代数方程 （组）、线性代数方程组、微分方程的数 值解法，函数的数值逼近问题，矩阵特征值的求法，最优化计算问题，概率统计 计算问题等等，还包括解的存在性、唯一性、收敛性和误差分析等理论问题。 计算科学(ScientificComputing)，又称科学计算(ComputationalScience)，是 1 数值分析教案 赖志柱 一个与数学模型构建、定量分析方法以及利用计算机来分析和解决科学问题相关 的研究领域，它使用数学、统计与计算器的技术，借助计算机高速计算的能力， 来解决现代科学、工程、经济或人文中的复杂问题。 狭义的科学计算是针对某些特定的数学问题，设计有效的计算方法来求解， 亦即数值分析、数值计算、计算方法。 科学计算是一门工具性、方法性、整合性 （边缘性）的新学科，是各种科学 与工程计算领域（如气象、地震、核能技术、石油探勘、航天工程、 密码解译 等）中不可缺少的工具。 随着计算机的高速发展，数值计算方法已深入到各个科学研究领域，计算性 交叉学科不断涌现，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物学、计算经济 学等。 随着计算机技术的发展，科学计算与科学理论、科学实验一并被称为近代科 学研究的三大基本手段。 使用计算机进行科学计算、数据处理及分析已成为人类科技活动的主要方法 之一。熟练地使用计算机进行科学计算，已成为科技工作者的一项基本技能。 计算数学是科学计算的核心与基础。 1.1.3 计算方法与计算机 数值分析也称计算方法，它与计算工具的发展密切相关。 计算工具：算筹、算盘、算图、算表、算尺、手摇及电动计算机、电子计算 机等。 只是在计算机出现以后，才使计算方法迅速发展并形成数学科学的一个独立 分支——计算数学。 当今计算能力的大幅度提高既来自计算机的进步，也来自计算方法的进步， 两种发展相辅相成又相互促进。 1.1.4 数值问题与算法 能用计算机计算的“数值问题”是指输入数据 （即问题中的自变量与原始数 据）与输出数据 （结果）之间函数关系的