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 第二章 谓词逻辑 原因是三个原子命题不能把第1个命题和第2命题的共同属性“人”表示出来。苏格拉底是人，所有“人”具有的共同属性“死亡”他也应该有，但在命题逻辑中无法实现。这就是命题逻辑的局限性。为了解决这个问题需要引入谓词逻辑的有关概念。 2．1 谓词逻辑的基本概念 2．1．1 谓词及其表示 命题是一个有唯一真值的陈述句。陈述句主要由主语、谓语、宾语和补语组成。其中主语、谓语是句子的主要成份。 主语是谓语描述的对象，称为个体或客体。 谓语用于描述主语的性质和关系，是陈述句的主体部分。 谓词可分为一元谓词和多元谓词。在命题中若谓词只联系一个客体，则称之为一元谓词。一元谓词表示客体的属性。若谓词联系着n个客体，则称之为n元谓词。多元谓词表示客体之间的联系。 例2-2 冰比水密度小。 4大于3 解： 用D表示　．．．比．．．密度小， G表示．．．大于．．．， 则上述谓词命题可以表示为： D（冰,水）和G（4,3）。 不难发现，在多元谓词中，个体在谓词中出现的次序不是任意的，它将直接影响谓词命题的真值。在多元谓词公式中，个体在谓词公式出现的次序一旦约定就不能更改。 如果更改便变成不同的命题，其真值也发生变化。如上例中改为D（水，冰）和G（3，4），变成命题“水比冰密度小”和“3大于4”，其真值都为假。 2．1．２ 常元与变元 　　 在谓词逻辑中，表示特定个体的词称为个体常元。个体常元可以是代表个体的标识符，也可以直接引用个体的名称。如上述例2-1中a代表“张三”，b代表“李四”；在例2-２中直接使用个体的名称，如“水”、“冰”、“３”、“４”等。 在谓词逻辑中，用来表示未知或泛指的个体的词称为个体变元。其标识符常用小写字母x，y，z．．．表示。例如用Ｐ(x)表示x是素数，Q(x)表示x是有理数。Ｐ(x) 和Q(x)不是命题，只有用具体的个体取代其中的个体变元后才是命题，才有真值。 2．2 命题 函数及量化 2．2．1 命题 函数 单独的谓词不是命题，在谓词后面的括号中填上代表个体的标识符所得的式 子 称为谓词填式 。 如果在谓词填式 的括号中填入的是个体常元，则该谓词填式 是一个命题。在谓词填 式 的括号中填入的是个体变元，则称该谓词 填式为命题函数。 定义2-3 由一个谓词和一些个体变元组成的表达式 称为原子命题函数。用逻辑联结词把一个或多个原子命题函数连接而成的表达式 称为复合命题函数。 把不含个体变元的命题函数称为0元谓词。例如，上述的D（冰,水）和G（4，3）等都是0元谓词， 0元谓词本身就是命题。 命题逻辑中的原子命题都可以用0元谓词表示，因此，可以将命题逻辑看成是谓词逻辑的特殊情况。 值得注意的是，在谓词演算中逻辑联结词的含义与命题演算中完全相同，且命题演算中的公式在谓词演算中完全适用。 例2-3 将下列命题 符号化： （1）存在既是素数又是偶数的数。 解：令：F(x):x是素数； G(x):x是偶数； 则命题 符号化为：F(x)∧G(x)。 （2）只有努力学习才能取得好成绩。 解： 令： G(x):x想取得好成绩； H(x):x 努力学习； 则命题 符号化为： （3）在实数域中，若x比y大，y比大z，则x比z大。 解：设x、y、z是实数。 令：P(x,y): x比y大。 则命题 符号化为： P(x,y)∧P(y,z)→P(x,z) 定义2-4 个体变元的论述范围称为个体域（或论域）。 各种个体域综合在一起作为论述范围称为全总个体域。 个体域和全总个体域是相对的，它根据你讨论的问题而定，同时它可以是有限的，也可以是无限的。 2．2．3 量 化 用具体个体的名称取代个体变元，使命题函数成为命题的过程称为代换，通过代换而得到的命题称为命题函数的代换实例。由代换实例得到的命题是个别命题。 除代换外，我们还可以采用量化的办法来确定命题，采用量化确定的命题是一个命题集合。 所谓量化是指