IIR数字滤波器的频率变换.PPT

第五章 数字滤波器 数字滤波器的设计过程: 按照实际需要确定滤波器的性能要求 寻找一满足预定性能要求的离散时间线性系统 用有限精度的运算实现所设计的系统 通过模拟,验证所设计的系统是否符合性能要求 如果我们已经有了一个数字滤波器的低通原型HL(z)（这个滤波器也可以由模拟低通原型设计得到），同样可以通过一定的变换，来设计其他各种不同的数字滤波器函数H(z)，这种变换也就是由HL(z)所在的Z平面到H(z)所在的Z平面的一个映射变换。为了便于区分变换前后两个不同的Z平面，把变换前的Z平面定义为U平面，u到z的变换关系表示为： u-1=G(z-1) （5-112） 2. 直接由给定的数字低通滤波器转换成 其它类型的数字滤波器 这样，数字滤波器的原型变换就可以表达为 （5-113） 在式（5-112）中，选用u-1及z-1而不用u及z，这是因为在系统函数中z和u都是以负幂形式出现的。 现在来讨论对变换函数G(z-1)的要求。首先，要使一个因果稳定的低通函数HL(u)变换成的H(z)依然是一个因果稳定的系统函数， 因此u的单位圆内部必须对应于z的单位圆内部。其次，两个函数的频响要满足一定的要求，因此z的单位圆应映射到u的单位圆上， 用θ和ω分别表示U平面和Z平面上的数字角频率，则ejθ和ejω分别表示U平面和Z平面的单位圆，式（5-112）应满足 式中，φ(ω)是G(e -jω)的相位函数。 从上式可以得到 也即变换函数G(z-1)在单位圆上的幅度必须恒等于1，这种函数称为全通函数。任何一个全通函数都可以表示为 （5-114） 式中，αk为它的极点，可以是实数，也可以是共轭复数，但都必须在单位圆以内， 即|αk|1， 以保证变换的稳定性不变；G(z-1)的所有零点都是其极点的共轭倒数，N称为全通函数的阶数， 当ω由0→π时，其相位函数φ(ω)的变化量为Nπ。选择合适的N和αk，则可得到各类变换。  FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)是有限长的，即0≤n≤N-1， 该系统一般采用非递归型的实现结构，但如果系统函数中出现零、 极点相消时, 也可以有递归型的结构(如频率采样结构)。FIR滤波器的系统函数为 H(z)的极点只能在Z平面的原点。 §5-4 有限长单位脉冲响应数字滤波器设计 一、概述 二、 线性相位FIR数字滤波器的特点 如果FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)是实数序列， 而且满足偶对称的条件 h(n)=h(N-1-n) 或满足奇对称的条件 h(n)=-h(N-1-n) 则滤波器就具有严格的线性相位特点。 1. 频率响应特点 （1） 线性相位特性 先看h(n)偶对称的情况: h(n)=h(N-1-n) 0≤n≤N-1 其系统函数为 将m=N-1-n代入 即 上式改写成 滤波器的频率响应为 我们可以看到，上式的Σ以内全部是标量，如果我们将频率响应用相位函数θ(ω)及幅度函数H(ω)表示 那么有： 幅度函数H(ω)是标量函数，可以包括正值、负值和零， 而且是ω的偶对称函数和周期函数; 而|H(ejω)|取值大于等于零, 两者在某些ω值上相位相差π。相位函数θ(ω)具有严格的线性相位，如图5-51所示。 图 5-51 h(n)偶对称时线性相位特性 数字滤波器的群延迟τ(ω)定义为 式中，grd(group　delay)为群延迟函数。由式可知，当h(n)满足偶对称时，FIR数字滤波器具有(N-1)/2个采样的延时， 它等于单位脉冲响应h(n)长度的一半。也就是说，FIR数字滤波器的输出响应整体相对于输入延时了(N-1)/2个采样周期。 再看h(n)奇对称的情况: h(n)=-h(N-1-n) 0≤n≤N-1 其系统函数为 因此 H(z)=-z-(N-1)H(z-1) 同样可以改写成 其频率响应为 所以有: 幅度函数H(ω)可以包括正值、负值和零，而且是ω的奇对称函数和周期函数。相位函数既是线性相位，又包括π/2的相移，如图5-52所示。可以看出，当h(n)为奇对称时，FIR滤波器不仅有(N-1)/2 个采样的延时， 还产生一个90°的相移。这种使所有频率的相移皆为90°的网络，称为９０°移相器，或称正交变换网络。它和理想低通滤波器、理想微分器一样，有着极重要的理论和实际意义。  当h(n)为奇对称时，FIR滤波器将是一个具有准确的线性相位的正交变换网络。 图 5-52 h(n)奇对称时线性相位特性 （2） 幅度响