2011年力学竞赛理力模拟题1-4解答.doc

2011年力学竞赛模拟题∑Fx=0 FS+FBA–Gsin30o=0 ∑Fy=0 FN–Gcos30o=0 ∑Mo(F)=0 FS×R–FBA×esin30o=0 联立解之：FS=19.6N FN=169.74N FSmax=169.74×0.2=33.9N FS≤FSmax 杆能在水平位置平衡 (3) 分析圆盘（图2） ∑Fx=0 FScos30 o+FNsin30o–FAx=0 ∑Fy=0 –FSsin30 o+FNcos30o–FAy–G=0 ∑Mo(F)=0 FS×R–e×FAy=0 摩擦条件 FS=f×FN 联立解之：FAx=360.5N FAY=214.2N 分析杆AB（图3） ∑MB(F)=0 W×x–FAx×a–FAy×a=0 x == 48.766 (cm) 他能走到距D点48.766 cm处而圆盘保持不动。 四、脉博跳动次数 解：（1）将这个半圆薄壁筒倒过来放置，并轻轻扰动，则它将作周期性的摆动，故可以用作计时单位，所以，能够利用这个半圆薄壁筒来估算自己的脉搏跳动情况。 （2）将这个半圆薄壁筒倒过来放置在地面上，则它摆动。具体原理如下： 考虑到整个薄壁筒的转动惯量为，利用负质量法可得： 即，这半个薄壁圆筒对质心惯性矩，利用平行轴定理可得，它对对面接触点的惯性矩为； 当它摆动角度（）时，具有动能 具有重量势能： 摆动过程中机械能守恒，即，或者； 故， ，将代入并解得该微分方程的解为： ， 其中 巧妙设计就可以用于脉搏的计数。 （3）为了计数方便，可巧妙设计使得摆动一个周期为， 这样让薄壁圆筒摆动一个周期就是，假如期间脉搏跳动的次数为（可以多次数，并取平均值），则一个人的脉搏频率为Hz，或者说他1分钟内脉搏跳动次。 七、雪球下滚 解：当雪球半径为时，球与雪层的接触面积为。由题意：。 又因为。其中是雪球的体积。 因此可得。令，积分后得。 由变质量动力学方程： 其中，是球体中心速度，是增加质量的速度（此处为零）。为摩擦力。 因此有： 由相对质心的动量矩定理得 ，其中 最后得球心的运动微分方程： 解方程得： 八、四人追车答案：（1）动量守衡。 （2）假设第3个人登上去坐下后，车厢的速度为u， 根据动量守衡： 得 又 由上面两式得：m4与m没有关系。 （3）假设第4个人登上去坐下后，车厢的速度仍然为，所以如果其他条件不变他的质量对速度没有变化。 九、碰撞 解：分析：塑性碰撞可看成是一个约束，碰撞前后为一过程，碰撞前和碰撞后的角速度为，。碰撞结束后上滚圆柱体为定轴转动，设滚动结束后其角速度为。滚动过程的任意位置的角速度为，问题就可解了。 （1）碰撞过程（图b）开始，结束。碰撞前后圆柱对的动量矩守恒有： 式中 得碰撞终了时圆柱的角速度： （2）滚上过程，碰撞后处无滑动，圆柱绕转动，由机械能守恒有： 要使圆柱能够滚上台阶，须使滚上后的角速度满足条件： 因此得： 在滚上过程的任一位置，圆柱的角速度为，法向反力为与水平成角（图）由质心运动定理和系统的机械能守恒有： 解得： 可见为最小值时，台阶的法向反力的最小值，即： 要使碰撞后圆柱始终与保持接触地滚上台阶，应满足条件 得 。所求范围为： 欲使上式成立，应有： 即 ，如，则本题无解。 2011年力学竞赛模拟题 (b) 车轮： ① ② ③ ④ ①②③④ ( (3) 汽车转弯： （4） （a）让后轮产生与前轮相同转向的转角，改变速度瞬心至车身重心距离，增大曲率半径，减小侧向加速度。 （b）车上安装高速飞轮，车身侧翻时产生陀螺力矩。 十一、神奇的木棒 解答：（1）关键词：重心、摩擦、平衡 （2）两手指分开时，离木棒重心近的手指，支持力比较大，摩擦力也较大，因此离重心近的手指就不滑动，离重心远的手指滑动。当滑动的那个手指比不滑动的那一个更接近重心的时候，就换了另一个手指滑动。经过几次这样的交换，两个手指就并在一起。因为每次只有一个离重心比较远的手指在移动位置，所以两个手指最后碰在一起的地方，必然是在木棒重心的下面。 （3）切断后短的一段总比长的一段要重，天平必不水平。 （4）木棒的运动方程 十二、自行车中的学问 解：（1）以匀速前进的自行车为例，前轮是被动的，所受摩擦力向后；后轮是被动的，所受摩擦力向前。如图a所示。 因为如果后轮是