2012专题因式定理与因式分解201208用.doc

专题：因式定理与因式分解 1、余数定理与因式定理 通常： =， 表示这个多项式在时的值。 如果我们用一次多项式作除式去除多项式，那么余式是一个数。设这时商式为多项式，余式（余数）为，则有： 即：被除式等于除式乘以商式再加余式 在上式中令，便得到： 因此：我们有： 除以，所得余数为。 这个结论我们称余数定理 如果余数为0，那么就被整除，也就是是的因式。反过来，如果是的因式，那么就被整除，余数为0。因此，我们有： 如果=0，那么是的因式。反之，如果是的因式，那么=0。 这个结论通常称为因式定理及其逆定理。 需要掌握的基本技能：长除法 计算： 解： 所以， 注：若被除式多项式缺少了某些项，可以用0补足。 例1 分解因式： 因为，根据上面的结论 就是的一次因式。 知道这个因式，运用多项式除法就可以将商式求出来，再进一步分解。 当然，我们也可以不用除法，直接去分组分解。这里的分组是“有目标的”，因为每组都有因式。 即：= == 例2 分解因式： 因为=0，可知是的一次因式。避免分数运算，把乘以2得，仍然是的一次因式。 现在可以用长除法，也可以用分组分解法，使得每组都有因式： = 这里有人会问，例1、例2中如何就首先发现，=0了呢？ 下面讨论这个问题。 2、有理根的求法 如果是的因式，则，那么就是说是的根；反之，在是的根时，就是的因式。问题是如何求出的根？ 我们假定=是整系数多项式，又设有理数是=0的根，这里是既约分数（即为互质整数）。 由于，则有 + 两边同乘得： 上式能整除左边前项，能整除左边后项，又因互质，因此： 能整除，即是的约数；能整除，即是的约数。 因此，可得： 整系数多项式==0的有理根的分子是常数项的约数；是首项系数的约数。 找到了的有理根，那么就找到了的一次因式. 例3 分解因式 解：=-2的因数有，的正因数有+1，+3（我们可以如此取）。 所以=0的有理根只可能是. 经检验可得： 所以是的因式，从而也是的因式，可得： == 3、字母系数 上述多项式都是常数系数。若遇字母系数多项式呢？ 例4 分解因式 解：常数项的因数为 把代入，可得=0 所以是原式的因式，同理也是原式的因式，所以： = 小结：因式定理只是提供了一个寻找多项式的一次因式的方法。达到了降次的目的。如果一个整系数多项式没有有理根，那么它也就没有整系数的一次因式，这时我们可以用待定系数法来考察它有无其他因式。 4、二次因式（待定系数法） 例5 分解因式： 解：原式的有理根只可能是，但这4个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而没有有理系数一次因式。 我们设想：原式可以分为两个整系数的二次因式的乘积，于是设： = （其中是整数） 比较两边的系数及常数项，得： （一般来说，这样的方程不容易解！但别忘了是整数！） 从入手，可得，或； 将代入可解得： 因此：= 根据因式分解的唯一性，其他几组不必再试了。 思考：能否分解为两个整系数的三次因式的积？（可用待定系数法） 下面看两个综合题 例6 若恰好能被整除，被除余数为4，求，并将多项式进行因式分解。 解：记，则 代入得 解得 所以 由于必有因式，设其商式为则 比较系数可以得到解得 即 例7 设是三个不同的实数，是实系数多项式。已知 （1）除以（）得余数； （2）除以（）得余数； （3）除以（）得余数c； 求多项式除以所得的余式。（意大利数奥题） 解：根据余数定理，被（）除，余数为，所以=. 从而，在时，值为0。同理，在、时，值也为0。 所以，即除以，余式为. 5、因式定理在轮换式分解中的运用 对称式 如果把多项式中任何两个字母互换，所得的式子与原多项式恒等，这样的多项式叫做关于这些字母的对称式。如，，，，，，┅┅ 轮换式 一个含有多个字母的多项式中，如果将所有字母顺次轮换后，所得到的多项式恒等，则称原多项式是关于这些字母的轮换式。如：，，，，，，，┅┅ 显然，关于的对称式一定是轮换式。但是，关于的轮换式不一定是对称式。如：。对于次数低于3的轮换式都是对称式。 两个轮换式（或对称式）的和、差、积、商（假定整除）仍然是轮换式（或对称式）。 关于，的齐次对称式的一般形式是： 一次对称式：； 二次对称式：； 三次对称式：； 关于，，的齐次轮换式的