2014全国数学建模大赛B题.doc

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 创意平板折叠桌 摘要 折叠与伸展也已成为家具设计行业普遍应用的一个基本设计理念，占用空间面积小而且家具的功能又更加多样化自然会受到人们的欢迎，着看创意桌子把一整块板分成若干木条，组合在一起，也可以变成很有创意的桌子，就像是变魔术一样，真的是创意无法想象。这样的一个有创意的家具给我们的生活带来了无限的乐趣， 问题一： 问题二：运用几何模型，对折叠桌平铺和完全展开后两个状态进行分析，得到各个变量之间的几何关系，因为折叠桌的设计要考虑产品的稳固性、加工方便、用材最少等方面的因素，但产品稳固性的权重选大于其它方面，所以优先满足产品的稳固性最好的情况，在已知折叠桌高度和圆形桌面直径的条件下，经过实际分析得到，当折叠桌完全展开后，四个最外侧着地的桌腿构成的正方形与桌面圆形外切时，稳固性最大，由此可以通过几何关系求得最外侧桌腿的长度，进而得到平板的最有尺寸的长度，再通过考虑对折叠桌进行受力分析，得到钢筋的位置，距离桌脚的距离，通过和语言进行编程，得到每根桌腿到中心的距离和每根桌腿的开槽长度，问题二得以解决，结果见表1 。 问题三： 关键字：几何模型 一、问题重述 某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。 试建立数学模型讨论下列问题： 1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的描述。和语言进行求解，得到折叠桌的最优设计加工参数的确定值。 针对问题三，建立合适的数学模型，使得设计的软件可根据设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，得到所需平板材料的形状尺寸和最优设计参数，并在问题一的基础上，将桌面的形状设计为菱形和椭圆两个形状，在给出相应的设计加工参数的情况下，用做出动态变化过程的示意图。 三、模型假设 1、 2、假设桌面圆形边缘的小矩形的长度为5cm 3、假设只考虑折叠桌的四分之一部分进行讨论与分析（折叠桌为完全对称图形） 4、假设折叠桌的厚度保值不变 四、符号说明 符号 描述 平板的宽 平板的高 折叠桌完全展开后的桌高 五、模型的建立与求解 5.1问题一： 5.1.1模型的建立与求解 5.1.2模型评价 5.2问题二： 问题中要求使产品稳固性好、加工方便、用材最少，所以在满足几何关系的情况下，折叠桌的体积越小、开槽长度越大，则用材最少；桌腿的横截面积越大、与竖直方向的夹角越小（即与地面越垂直）折叠桌的稳固性越好，当外侧四个桌腿形成的正方形与桌面圆形外切时，承力越大；桌子的设计越简单加工越方便。并在此理解基础上对折叠桌进行受力分析。对于给定的具体桌高和桌面直径，运用和语言进行求解，得到折叠桌的最优设计加工参数的确定值。 5.2.1模型的建立与求解 1、符号说明： ：桌面直径、平板的宽 ：最外侧桌腿的长度 ：最外侧桌腿与水平桌面方向的夹角 ：平铺时钢筋位置距桌脚的水平距离 ：任意桌腿的开槽长度 ：任意桌腿长度 ：完全展开时钢筋到桌腿顶端的距离 ①折叠桌的立体图如下： 图2.1：折叠桌的立体图 ②平铺时的平面图如下： 图2.2：桌子长方形 图2.3：桌子折叠后表示水平桌面横截面；表示最外侧桌腿记；表示水平桌面与最外侧桌腿的夹角；表示钢筋位置，表示地面；表示桌子中心线位置；表示任意一根桌腿的位置；、表示最外侧桌腿与桌面连接处到桌面中心线的距离；则。 考虑到产品稳固性好，则最外侧四个桌腿够成正方形，且与桌面圆形相外切，此时有,，则 其中，表示桌面直径；表示桌子折叠后的高度；表示桌子的厚度；表桌子水平放置时的长度； 由②和③可知，任意