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第5章 不 定 积 分 §5. 1 不定积分的概念与性质 1．原函数 （1）设在某区间内有定义，若，则称是的一个原函数 （2）若，都是在某区间内的原函数，则 （3）若是的一个原函数，则的所有原函数为 2．不定积分 的所有原函数，称为的不定积分，记为，且 或 或 几何意义：曲线沿轴平移得到的一族积分曲线。各曲线在同一点处的切线平行，且切线的斜率均为。 3. 原函数存在的定理 设在某区间内连续，则函数在该区间内的原函数一定存在。 注意： 函数在区间上连续是其原函数存在的充分条件. 因此初等函数在其定义区间内的原函数必存在。但有些初等函数的原函数虽然存在，却无法用初等函数表示出来。 §5. 2 积 分 法 1. 基本积分表 2. 不定积分法则 线性法则 ，为常数 第一换元积分法 第二换元积分法 分部积分法 ； 分部法推广公式：设，有阶导数，则 3．积分运算原则 常用凑微分形式： ； ； 常用三角公式： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； §5. 3 典型例题解析 例1 选择题 （1）下列命题中不正确的是（ C ） A. 若在内的某个原函数是常数，则在内恒为零； B. 若的某个原函数为零，则的所有原函数都为常数； C. 若在内不是连续函数，则在这个区间内必无原函数； D. 若是的任意一原函数，则必定为连续函数 解析 假设为的原函数，必有。 A. ,，则 ，所以A正确； B. 若是的一个原函数，则，所以B正确； C. 由于在内连续是原函数存在的充分条件，所以C错误。如 在内不连续，是间断点，但有原函数 D.存在，说明可导。而可导必连续，所以必定连续。故D正确。 （2）下列各式中正确的是（ C ） A. B. C. D. 解析 由于不定积分表示无数多个原函数，应含任意常数C，因此A，B都不正确。对D式依不定积分性质可知应有，因此D不正确。由不定积分的性质可知C正确。 （3）设是连续函数，是的原函数，则（ ） A.当是奇函数时，必为偶函数 B. 当是偶函数时，必奇为函数 C. 当为周期函数时，必为周期函数 D.当是单调增函数时，必为单调增函数 解析 由于不定积分表示无数多个原函数，应含任意常数C A. 偶函数偶函数； B. 奇函数奇函数 C. 周期函数周期函数； D. 的单调性由的符号确定 1．第一类换元法（微分法） 解题思路1 根据被积函数的结构，从中分出一部分，使得，于是，从而得到和对应基本积分公式一致的形式。 例2 计算下列积分 （1） 解 （5） 解 解题思路2 积分为或，且，则 例3 计算下列积分 （1） 解 由于 故 （4）， 解 由于 故 解题思路3 分子分母同乘（或除）一因子，再用凑微分法求解 例4 计算下列积分 （1） 解 （2） 解 （3） 解 2．第二类换元法 解题思路 （1）利用三角代换，变根式积分为三角有理式积分。形如； （2）倒代换：设为分子与分母的最高次幂，当时，令； （3）指数代换：适用于被积函数由构成的代数式。令，。 ，的积分，令，，。 例5 计算下列积分 （1） 解 令， （3） 解 令， （） 例6 计算下列积分 （1） 解法1 令， 解法2 注意：一般地，用倒代换法能解的题，用凑微分法同样可解。 例7 计算下列积分 （2） 解 令， （3） 解 令，，， 3．分部积分法 解题思路 （1）凑微分部分函数的选取，一般是三角函数与指数函数优先；三角函数与指数函数优先等级一样；多次分部积分凑微分部分应选取同类函数；有时要移相运算。 （2）当被积函数含次数高于1的对数函数和反三角函数时，一般要作变量代换。 （3）利用公式： 例8 计算下列积分 （1） 解 （4） （4）解法1 列表法求解 解法2 设 两边求导得 比较系数得 ，则 （2） 解 令，，，列表法得 4. 三角有理式积分 解题思路1 利用待定系数法分解被积函数 例10 计算下列积分 （1）； （1）解 由分母表达式，可令 比较系数得，则 一般地， 解题思路2 利用恒等式：； 例11 计算下列积分 （1） 解 （4） 解 移项 （5） 解 解题思路3 尽量使分母简化，常见