7达郎伯原理.doc

7、达郎伯原理 7.1内容提要 达郎伯原理提供了一种求解非自由质点系动力学问题的普遍方法。在运动的质点系上虚加惯性力后，就可应用列静力学平衡方程的方法来求解动力学问题。这种方法又称为动静法，在工程中得到广泛的应用。 达郎伯原理的理论要点归纳如表7-1所示。 表7-1 达郎伯原理表达式 定理 内 容 表达式 惯性力 当质点受外力作用而改变运动状态时，由于质点的惯性产生的对施力物体的反作用力，称为该质点的惯性力，其大小等于质点质量与质点加速度的乘积，方向与加速度相反。 ， ， 达郎 伯原 理 质点的达郎伯原理 在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力，约束反力及惯性力构成一假想的平衡力系。 质点系的达郎伯原理 质点系在运动的每一瞬时，作用于质点系内每一质点的主动力、约束反力以及质点的惯性力组成一平衡力系。 惯性力系的简化 刚体平动 惯性力系简化为过质心的合力 刚体定轴转动 具有质量对称面且转轴垂直于此对称面的定轴转动刚体，其惯性力系向转轴与对称面的交点O简化，结果为一惯性力和一惯性力偶。 刚体平面运动 刚体具有质量对称面且平行于此对称面运动，其惯性力系向质心C简化，结果为一惯性力和一惯性力偶。 7.2解题要点 7.2.1 应用动静法，可以求解动力学的两类问题，也适用于既求运动又求力的情况。所能求解的问题与微分形式的动量定理和动量矩定理基本相同。但由于动静法是利用静力平衡方程的形式求解动力学问题，这就给解题提供了方便和灵活性，例如研究对象的选取，投影轴与矩心的选用不受限制，因而动静法特别适用于动力学中求多个约束反力的情况。 7.2.2 动静法解题的步骤，首先进行受力分析，画出研究对象上所受的主动力和约束反力；然后分析系统中各物体的运动，确定刚体的质心加速度可先假设其指向和转向；再根据刚体的运动形式，虚加上刚体惯性力系的简化结果。最后，根据待求量灵活地选取研究对象，并按列静力平衡方程的方法予以求解。 7.2.3 动静法解题的关键是正确地分析和虚加惯性力，这就要求牢记各种运动刚体惯性力系的简化结果，并熟悉运动分析，能够熟练计算有关的加速度和角加速度。在虚加惯性力和惯性力偶时，已考虑了加速度和角加速度的符号（方向和转向）在静力平衡方程中不可再重复考虑其符号。 7.2.4 惯性力是人为地虚加在运动物体上的，是用静力学的方法为达到求解动力学问题的目的而采用的一种手段，平衡状态是虚拟的。千万不可认为惯性力就作用在运动物体上，甚至错误得出惯性力也是物体运动改变的原因。 7.3范例分析 例7-1匀质杆AB，重W，长，一端放在光滑的地面上，并用两软绳约束，如图7-1（a）所示。求当BD绳切断的瞬间,B点的加速度,AG绳的拉力以及地面的反力。 图7-1 解： 解题思路：绳BD切断后，AB杆将作平面运动。在绳切断瞬间，AB杆的角速度及各点速度均为零，但杆的角加速度不等于领，据此特点，可虚加惯性力，用达郎伯原理求解。 受力分析 取AB杆为研究对象，受力图如图7-1（c）所示。 运动分析并虚加惯性力 杆AB作平面运动，在图示瞬时，设B点有向左的加速度aB，杆有顺时针方向的角加速度α，但在该瞬时，角速度ω= 0，以B为基点，分析杆的质心C点的加速度，有 其中 ， 将杆AB的惯性力系向质心C简化，得一惯性力，其中，，。另外得一惯性力偶，其矩为。如图（c）所示。 列平衡方程求解 ： 或 （1） ， 或 （2） ， 或 （3） 上面三个方程中包含，，和F四个未知量，需建立一个补充方程。由于杆端A和B的运动轨迹已知，故可根据加速度合成的基点法，以B点为基点，分析A点的加速度（图（b）），有 其中，，，。将上式投影于x轴，有 （4） 联立式（1）、式（4），并以代入，解得 将其分别代入式（2）或式（3），解得 讨论：系统按加速度、角加速度的方向加上反向的惯性力、惯性力偶后，就可按静力学平衡方程求解，但在求解中往往要建立运动学的补充方程来联合求解。 例7-2一均质绕线轮放在粗糙的水平面上，如图7-2所示，已知其重量为Q，滚轮半径为R，鼓轮半径为r，线轮对质心轴的回转半径为ρ。鼓轮的绳上作用有与水平面成θ角的力P。试求线轮质心C的加速度和保