§5 - 5 一维定态问题.doc

§5 - 5 一维定态问题 在势场中运动的粒子的薛定谔方程： , 对应定态薛定谔方程： , (三维) , (一维) 用定态薛定谔方程来处理一些一维问题，量子体系的许多特征都可以在这些比较简单的问题中体现出来。 一 势能曲线 势能是保守力场中只与位置相关的函数。势能曲线给出了一个系统的势能分布及描绘了保守力的分布。 保守力 ＝ 势能的负值 x区间 (0, a) 0 0 (沿x方向) 势阱(a: 不受力的平衡位置)：粒子将被 (a, c) 0 0 (反x方向) 束缚其中 (b, c) 0 0 (反x方向) 势垒(c：不稳定平衡位置)：粒子易于 (c, d) 0 0 (沿x方向) 离开平衡位置 若粒子在此势场中，具有能量 若粒子越过该势垒，能量守恒要求 所以， 这个粒子不可能越过势垒bd。 研究一个量子体系（如氢原子，金属中的自由电子的运动，双原子分子，原子核的结构，一个原子核与另一核的相互碰撞、散射等），几乎都可以从体系的能量关系出发进行分析，而绕开相互作用的力，研究一个波动的微观粒子在一个势场中运动规律。这就要解粒子在势场中运动的薛定谔方程，得出相应的运动规律。 二 无限深方势阱 离散谱 ( 1 ) 无限深方势阱 粒子处在无限深方势阱中 (5. 65) ● 势阱外 势阱壁无限高，在势阱壁上及势阱外波函数为零(粒子不可能穿透无限高的势阱壁) ● 势阱内 当0 x a 时，一维定态薛定谔方程可化为 . (5. 66) 令 , (5. 67) 则方程(5. 66)的解可表示为 , (5. 68) 其中A，k和( 是待定常量: A由归一化条件确定， k和(由边条件确定。 ● 束缚态边条件 根据薛定谔方程所提出的关于波函数连续性的要求，势阱内粒子的波函数，必须满足如下的边界条件： . (5. 69) i.e. 边条件: ( = 0； (5. 70) 我们舍去了n = 0的情况，因为若n = 0，必有( ( 0，没有物理意义。 ● 能量量子化和零点能 由式(5. 67) ,可得 , （因为） (5. 71) 能量本征值或能级 n 能量量子数 ◇ 当粒子被束缚在势阱中时，体系的能量是量子化的，即所构成的能谱是离散的。 ◇ 粒子的最低能级——基态的能量，即粒子具有零点能。经典物理中粒子的基态能量可为零。 能量本征函数及其归一化 与能量本征值En相应的波函数（式（5。71）说明，只有当能量取离散值En时，相应的波函数(n才是满足边条件的、物理上可接受的。） (5. 72) 利用归一化条件 , (5. 73) . 取A为实数，得 ◇ 归一化的能量本征函数 (5. 74) 能级n = 1, 2, 3, 4的波函数(n以及概率密度( (n (2见图5 - 3。 ◇ 能量本征函数的正交性 对于不同能级的波函数(m和(n，由式(5. 74)可得 ( using ) (5. 75) 波函数(m和(n互相正交 引入克罗内克符号 (5. 76) 一维无限深方势阱中粒子波函数——能量本征函数的正交归一性表为 (5. 77) 上述积分遍及粒子所能到达的空间。 图5 - 3 一维无限深方势阱中的粒子 节点（除端点和外，波函数为零的点） 量子态 n 值 节点数 基态 1 0 第1激发态 2 1 第k激发态 n ( 1) k 把体系看成直线上的驻波： 节点越多 波长越短 频率越高 能量越高。 驻波不形成粒子流的，总有j = 0. 这很自然：在波函数为实数的情况下，由于，概率流密度j总是为零的。 对于一维定态，当粒子处在束缚态时，可以证明能量本征函数具有常数相位，也总有j = 0. 若粒子处在散射态，例如自由粒子，无上述结论。 二 线性谐振子 ( 1 ) 线性谐