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一阶逻辑定理证明
令A是PL的公式，x在A中自由出现：
101，├(xA（x）((yA（y）
101( ├(xA（x）((yA（y）
102，├(xA（x）(((xA(（x）
103，├(xA（x）(((x(A（x）
104，├(x(A（x）(((xA（x）
105，├(x(A（x）(((xA（x）
令A，B是PL的公式，x在A，B中自由出现：
106，├(x(yA（x，y）((y (xA（x，y）
107，├(x(yA（x，y）((y(xA（x，y）
108，├(x(yA（x，y）((y(xA（x，y）；反之不成立。
令A，B是PL的公式，x在A，B中自由出现：
109，├(x（A∧B）((xA∧(x B
110，├(x（A(B）((xA((x B
111，├(x（A→B）→（(xA→(x B），反之不成立。
112，├(x（A(B）→（(xA((x B），反之不成立。
113，├（(xA∨(x B）→(x（A∨B）反之不成立。
114，├(x（A∧B）((xA∧(x B，反之不成立。
令A，B是PL的公式，x在B中自由出现并且在A中非自由出现，则有：
115，├(x（A∨B）(A∨(x B
116，├(x（A∨B）(A∨(x B
117，├(x（A∧B）(A∧(x B
118，├(x（A∧B）(A∧(x B
119，├(x（A→B）(（A→(x B）
120，├(x（A→B）(（A→(x B）
121，├(x（B→A）(（(x B→A）
122，├(x（ B→A）((xB→A
123，├(x（A→A）
124，├(x（A∨(A）
125，├(x(（A∧(A）
证明102 ：├(xA（x）(((xA(（x）
⑴ (xA P
⑵ (x(A P
⑶ (A（a） P
⑷ (xA P
⑸ A（a） ⑷ (—
⑹ (A（a） ⑶R
⑺ ((xA ⑷—（6）(+
⑻ (xA∧((xA （1）（7）∧+
⑼ (xA∧ ((xA （2），（3）―（8） ((
⑽ ( (x(A （2）—（9）(+
⑾ ( (x(A P
⑿ (A（a） P，a要符号条件
⒀ (x(A P（12）(+
⒁ ( (x(A 11）R
⒂ A（a） （12）—（14）(—
⒃ (xA（x/a） （15）((a要符合条件
⒄ (xA（x）(((xA(（x） （1）—（10），（11）—（16）(+
证明103：├(xA（x）(((x(A（x）
⑴ (xA（x） P
② A（a） P
⑶ (x(A（x） P
⑷ (A（a） ⑶(—
⑸ A（a） ⑵R
⑹ ((x(A（x） ⑶—⑸(+
⑺ ((x(A（x） ⑴，⑵—⑹(—
⑻ ((x(A（x） P
⑼ ((xA（x） P
⑽ A（a） P（ a不出现在（8）（9）（14）中
⑾ (xA（x） （10）(+
⑿ ((xA（x） （9）R
⒀ ( A（a）
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