专题讲座4-不确定原理.doc

不确定原理 定义：一个力学量A的标准偏差为 式中。 同样地，对于任何另外一个可观测量，有 其中 由Schwarz不等式 那么现在对于任意一个复数， 因此，令， 但是 类似有， 因此 式中 是两个算符之间的对易关系。结论： [3.62] 这就是（普遍的）不确定原理。 举例来说，假设第一个可观测量是坐标（），第二个是动量（）。它们的对易式是 所以 或者，因为标准差由其本质是正值， 事实上，对每一对其算符不对易的可观测量的都存在一个“不确定原理”—我们称它们为不相容可观测量。不相容可观测量没有完备的共同本征函数系注意，不确定原理并不是量子力学中一个额外的假设，而是统计诠释的结果。你或许感到奇怪，它在实验室是怎么起作用的呢—为什么就不能同时确定(比方说)一个粒子的坐标和动量呢？你当然可以测量一个粒子的位置，但是测量本身使波函数坍塌为一个尖峰，这样波的傅立叶展开中波长(动量)分布范围很宽。如果你此时再去测量动量，这个态就会坍塌为一个长正弦波，（现在）具有确定的波长—但是此刻的粒子已经不再处于第一次测量时你得到的位置。这样问题是，第二次测量使得第一次测量的结果无效了。只有波函数同时是两个力学量的本征态时，才有可能在不破坏粒子的状态的情况下进行第二次测量（这种情况下第二次坍塌不改变任何事情）。但是，一般来说，这只是在两个可观测量相互对易的情况下才有可能。 假设你握着一根长绳的一端，有节奏地上下摆动产生一个波。如果有人问：“精确来讲波在那里？”你可能会认为此人有点不合时宜：精确来讲波不在任何地方(它分布在50英尺或更长的范围。另一方面，如果他问波长是多少，你可以给他一个合理的答案：大约是6英尺。 反过来,如果你突然抖动一下绳子,可以得到一个沿绳子传播的孤峰。对这种情况,第一个问题(精确来讲波在那里)就有意义了，但是第二个(波长是多少?) 就有点不合时宜了(它并没有一个明确的周期，所以如何你能赋予它一个周期？ 当然，你也可以给出介于两者之间的情况，波是可以相当好的定域的，波长也可以相当好定义的，但是这里存在一个不可避免的权衡选择：波的位置越精确，波长就越不精确，反过来也一样。上面的讨论当然适合任何波动现象，特别是对量子力学的波函数。粒子的动量同波长的联系由德布罗意（de Broglie）公式给出： 这样波长的弥散对应动量的弥散，对我们通常的观测有：粒子的位置确定的越精确,它的动量就越不精确。 能量-时间不确定原理 坐标-动量不确定原理 经常和下面的能量-时间不确定原理类比： 的确，在狭义相对论里，能量-时间的形式可以被认为是坐标-动量版本的的一个推论，因为和（或者说）在坐标-时间4-矢量里一同变换，而和（或者说）在能量-动量4-矢量里一同变换。所以在相对论理论里，能量-时间不确定原理应该是坐标-动量不确定原理的一个必要的伴随式。但是我们不是在讨论相对论量子力学。薛定谔方程显然是非相对论的：式中赋予和非常不同的立足点（在同一微分方程中是一次导数，而是二次导数），时间不是一个力学量，它仅是一个参数。我们现在的目的是导出能量-时间不确定原理，并且在推导的过程中使你相信，它实际上是另一个完全不同的概念，而它与位置-动量不确定原理表面上的相似之处实际上让人相当误解。 首先，坐标、动量和能量都是动力学变量—是体系在任何时刻都可观测的特征。但是时间本身不是动力学变量（在任何情况下，在非相对论中都不是）：你不会像测量坐标和