专题一 飞向太空的勾股定理.doc

专题一飞向太空的勾殷定理历史的误会大约在公元前l10年左右，我国周朝初年，周武王的弟弟周公与数学家商高进行了一次伟大的历史性对话。周公问商高：“听说您对数很精通，请问古代伏羲如何测定天体的位置?要知道天是不可能用梯子攀登上去的，地也无法用尺子来测量，请问数是从哪里来的呢?”商高回答说：“数的方法是从研究圆形和方形开始的，圆形是由方形产生的，而方形又是由折成直角的矩尺产生的。在研究矩形前需要知道九九口诀。设想把一个矩形沿对角线切开，使得短直角边(勾)长为3，长直角边(股)长为4，斜边(弦)长则为5。以弦为边作一正方形，并用四个与上述直角三角形一样的半矩形把它围成一个方形盘。从它的总面积49中，减去由勾股弦均分别为3、45的四个直角三角形构成的2个矩形的面积24，便得到最初所作正方形的面积25。这种方法称为‘积矩’。”这个故事记载于我国古代“算经十书”之一的《周髀算经》，其含义就是对直角三角形(图1．1)的特例即勾3、股4、弦5作出了直观的、简捷易懂的说明，它表明世界上最早发现并深入研究勾股定理的历史可以追溯到我国的周朝时期。然而，在西方，直到公元前6世纪，古希腊数学家、天文学家、哲学家毕达哥拉斯才发 西方人却把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”。殊不知，历史的真相是毕达哥拉斯的发现晚了中国人的发现500—600年。这种历史的误会不能不令人感到十分遗憾! 操作与演示 “弦图”与勾股定理 对于商高所说的“积矩”，三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，以我国古代证明几何问题的一种独特方法——割补原理，做了进一步的直观演算。他画“弦图’’，将图形的各部分分别涂以不同的颜色，然后经过适当地拼补搭配，使其“出入相补，各从其类”，如图1．2所示。 图1．2赵爽的“弦图” 商高的“积矩”可用现代数学表述为：如图1．3所示，把矩形ADBC用对角线AB分成两个直角三角形，然后以AB为边长作正方形BMNA，再用与直角三角形BAD相同的三角形把这个正方形围起来，形成一个新的正方形(方形盘)DEFG，其面积为(3+4)2=49，而这四个直角三角形的面积等于两个矩形ADBC的面积之和，即2×3×4=24。 所以正方形ABMN的面积=方形盘DEFG一2个矩形ADBC的面积，即， 49-24=25=52=32+42 也就是“勾的平方加股的平方等于弦的平方”。 赵爽的证明可用现代数学表述为：如图1．4所示，以a、b、c分别表示勾、股、弦，那么，a·b表示“弦图”中两块“朱实”的面积，2ab表示四块朱实的面积，表示“中黄实”的面积。于是，从图中可明显看出，四块“朱实”的面积加上一个“中黄实”的面积就等于以c为边长的正方形“弦实”的面积，即 这就是勾股定理的一般表达式。 古往今来，许多人对勾股定理提出了各种不同的证法，吉尼斯的世界记录是，勾股定理的证法已超过370种，是世界上证法最多的定理。 赵爽给勾股定理以如此简明、直观的证明，使世界数学家们无不赞叹其思想之高超、方法之巧妙，被誉为世界上勾股定理证明之最! 超级链接 一、七巧板与勾股定理 七巧板是起源于我国宋代的智力游戏，19世纪开始流传到日本和 欧美国家。1818年左右，美国、德国、英国、法国、意大利和奥地利等国就已经出版过介绍七巧板的书籍，把七巧板称为“中国的拼图板”、“中国拼板游戏”等，其中很多图形参考了我国的有关书籍。19世纪声名显赫的法国领袖拿破仑在流放中都不忘中国的七巧板游戏。1960年，荷兰作家罗伯特·范·古利克出版了一本小说《中国的谋杀案》，他在小说中塑造了一个哑巴男孩，每当他的手势不够用时，他就用七巧板图形来表达，小说以男孩的七巧板拼图破案作结尾。1942年《美国数学月刊》发表了中国浙江大学两位作者的文章，他们证明了用一副七巧板能拼成的凸多边形最多只有13种，如图1.5所示 图1．5 七巧板拼成的13种凸多边形 利用七巧板可以拼成许多图形，包括人物、动物、植物、建筑物、文字等，据说有记载的图形已超过1 000种。你可知道七巧板也可以用来证明勾股定理吗?图1．6是用2副同样大小的七巧板拼成的，在图中，下部平放的正方形由一副七巧板拼成，上部斜放的2个正方形由另一七巧板拼成，这3个正方形内侧围出一个直角三角形。因为斜边上的大正方形面积等于两条直角边上的小直角三角形面积之和，所以我们不难得出这样的结论：直角三角形斜边长的平方等于两条直角边长的平方和。这正是勾股定理的内容。 二、美女荡秋千 在明朝程大位的著作《直指算法统宗》里，有这样一道趣题： 荡 秋 千 平地秋千未起 ，踏板一尺离地， 送行二步与人齐，五尺人高曾记。 仕女佳人争蹴 ，终朝笑语欢嬉， 良工高士素好奇，算出索长有几? 把它译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静