专题讲座2-一维问题.doc

专题讲座2一维问题 一、自由粒子问题 自由粒子（处处经典理论中意味着等速运动，但是在量子力学中问题相当微妙薛定谔方程为: 或者 其中 因此自由粒子的能量本征函数为 （很容易看出自由粒子的能量本征函数也是动量算符的本征函数，） 能量本征值为 对自由粒子没有边界条件限制值的取值）；，自由粒子的定态解可以写作 显然，自由粒子的“定态”是传播着的波； 它们的波长是，按照德布罗意公式（1.39式）它们具有动量 我们的问题是这样的定态能否表示自由粒子真实的物理态呢？ 这些波的速度(前面的系数除以前面的系数)是 另一方面，一个具有能量（纯动能，既然势能）的经典自由粒子的速度是 表面看来量子力学波的传播速度只有它所代表的粒子经典速度的一半！我们马上会回到这个佯谬(这里还有一个更严重的问题需要我们首先面对：这个波函数是不可归一化的。因为 对自由粒子来讲，分离变量解并不代表物理上可实现的态。一个自由粒子不能存在于一个定态；或者，换句话说，不存在一个自由粒子具有确定能量（确定动量）这样的事情。 但是这个并不意味着分离变量解对我们没有用途，因为它们的数学地位是完全不依赖于它们的物理解释的。含时薛定鄂方程的一般解仍旧是分离变量解的线性迭加（此时对连续变量的一个积分取代了对分立指标的求和）： (引入因子是为了方便)现在这个波函数是可以归一化的（对适当的）。但是必须是对的一个范围，因此能量和速度也有一个范围。我们称这样的波为波包。 在一般的量子力学问题中，是给出，求。对自由粒子的解，仅有的问题是如何确定匹配初始波函数的： 由傅立叶变换 例题1 一个自由粒子初始时刻是局域在区间，然后在释放： 式中和是正的实数。求。 解：首先我们需要归一化： 其次计算： 最后把代回2.100式中： 探讨极限情况很有启发。如果非常小，初始波函数为很窄的针状。在这种情况下，有，因此有 这是不确定原理的一个例子：如果坐标的弥散很小，动量的弥散（因此的）必须很大。在另一种极限下（很大），坐标的弥散很大，而 现在，的最大值在，并当时为零（这对应）。所以对较大的，是以为中心的一个窄峰。此种情况下，有一个较确定的动量，但是坐标不再很好确定。 现在我们回到前面提到的佯谬：表示一个粒子的分离变量解以一个”错误”的速度传播。严格来讲，这样的问题是不存在的，因为我们发现不代表一个物理上可实现的态。不过，发现自由粒子的波函数 包含有速度的什么信息是令人感兴趣的。基本的思想是：一个波包是正弦函数的迭加，其振幅由调制； 在一个“包络线”内含有“波纹”。对应粒子速度的不是一个个别波