动力系统模型.doc

A First Course in Mathematical Modeling (Third Edition) Frank R. Giordano, Maurice D. Weir, William P. Fox China Machine Press 数学建模(原书第3版) 叶其孝 姜启源 等译 机械工业出版社 第1章 对变化进行建模 引言 为了更好地了解世界,人们常常用数学来描述某种特定现象.这种数学模型是现实世界现象的理想化,但永远不会是完全精确的表示.尽管任何模型都有其局限性,但是好的模型能够提供有价值的结果和结论.在本章中我们将重点介绍对变化进行建模. 简化 比例性 多数模型简化了现实的情况.一般情况下,模型只能近似地表示实际的行为.一种非常强有力的简化关系就是比例性. 定义 两个变量和是(互成)比例的,如果,我们记为.从几何上看,关于的图形位于通过原点的一条直线上. 例1 测试比例性 做一个测量弹簧的伸长作为置于弹簧末端的质量的函数的实验,表1-1为该实验收集到的数据 表1-1 弹簧—质量系统 质量 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 伸长 1.000 1.875 2.750 3.250 4.375 4.875 5.675 6.500 7.250 8.000 8.750 弹簧的伸长对于置于弹簧末端的质量的散点图展现了它近似是过原点的一条直线. 图1-1 来自弹簧—质量系统的数据 看来该数据遵从比例性法则，伸长与质量成比例，或者说。该直线看似通过原点。在本例中，假设这两种数据成比例看来是合理的，我们选位于直线上的两点和来估计比例系数（直线斜率）： 因此比例系数约为0.0163，于是可以建立以下估算模型： 然后把表示该模型的直线图形重叠画到散点图上，以考察模型对这些数据的拟合效果。从图中可以看出这个简化的比例模型是合理的。 图1-2来自弹簧—质量系统的数据和比例性模型直线 对变化进行建模 对变化进行建模的一个非常有用的范例就是： 未来值=现在值+变化 人们往往希望从现在知道的东西加上精心观测到的变化来预测未来。在这种情形中，可以先按照公式： 变化=未来值-现在值 来研究变化。 1.1 用差分方程对变化进行建模 定义 数列的一阶差分是 例1 储蓄存单 考虑一开始价值为1000美元的储蓄存单在月利率为1%的条件下的累积价值。下面的数列表示该储蓄存单逐月的价值： 其一阶差分为： 注意，一阶差分表示在一个时间周期里数列的变化，在储蓄存单的例子中即是所得的利息。 如果是月数而是个月后储蓄存单的价值，那么每个月价值的变化（或者利息增长）由第个差分 来表示。即有如下的差分方程 我们还知道一开始的存款（初值），于是就得出了以下动力系统模型 其中，是个月后储蓄存单的价值。由于表示非负整数，故上面的方程可以表示为无穷多个代数方程，称为动力系统。动力系统能够描述从一个周期到下一个周期的变化。知道了该序列中的某一项，就可以通过差分方程算出紧接着它的下一项，但是不能直接算出任意特定项的值（例如，100个周期后的储蓄值）。 修改一下这个例子，如果要从账户中每月提款50美元，那么一个周期里存款的变化就应该是该周期里挣的利息减去月提款： 在大多数例子中，用数学方式描述变化不会像这里所说的那样精确，常常需要画出变化，观察模式，然后用数学术语来描述变化。即，试图寻求 变化可能是数据序列中前一项的函数（就象没有月提款的情形），或者还包含某些外来项（诸如上面提到的题款数或涉及周期的一个表达式）。即 例2 抵押贷款买房 六年前，你的父母筹措月利率为1%、每月还款为880.87美元的20年贷款资金80000美元买了房子。他们已经还款72个月，同时想知道他们还欠多少抵押贷款，他们正在考虑用他们得到的一笔遗产来付清欠款。或者他们可以重新根据偿还期长短，以不同利率偿还抵押贷款。每个周期欠款额因要付的利息而增加，又因每月还款而减少： 求解并加进初始条件就给出了下面的动力系统模型 其中表示第个月后的欠款.因此: 就给出了序列 该序列的前13项数据如表1-2所示 表1-2 欠款额度表 月 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 80000.00 79919.13 79837.45 79754.96 79671.64 79587.48 79502.49 79416.64 79329.94 79242.37 也可以用图1-3表示 图1-3 逐月欠款额 我们来总结一下例1和例2中介绍的重要思路. 定义 一个动力系统就是序列各项之间的一种关系.动力系统的数值解就是满足该动力系统的一张数据表. 习题1 写出能对所述情景的变化确切建模的动力系统的公式 1.目前你在储蓄账户上有月付