动态规划总结经典题目(经典中的经典).doc

动态规划总结——经典问题总结 本文着重讨论状态是如何表示，以及方程是怎样表示的。当然，还附上关键的，有可能作为模板的代码段。但有的代码的实现是优化版的。 经典问题总结 最长上升子序列（LIS） 问题描述如下: 设L=a1,a2,…,an是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=aK1,ak2,…,akm，其中k1k2…km且aK1ak2…akm。求最大的m值。 这里采用的是逆向思维的方法，从最后一个开始想起，即先从A[N]（A数组是存放数据的数组，下同）开始，则只有长度为1的子序列，到A[N-1]时就有两种情况，如果a[n-1] a[n]?则存在长度为2的不下降子序列?a[n-1],a[n]；如果a[n-1] a[n]?则存在长度为1的不下降子序列a[n-1]或者a[n]。 有了以上的思想，DP方程就呼之欲出了（这里是顺序推的，不是逆序的）： DP[I]=MAX（1,DP[J]+1）??J=0,1,...,I-1 但这样的想法实现起来是）O(n^2)的。本题还有更好的解法，就是O(n*logn)。利用了长升子序列的性质来优化，以下是优化版的代码： //最长不降子序??????? const int SIZE=500001; int data[SIZE]; int dp[SIZE]; ? //返回值是最长不降子序列的最大长度,复杂度O(N*logN) int LCS(int n) {????????????//N是DATA数组的长度,下标从1开始 ????int len(1),low,high,mid,i; ? ????dp[1]=data[1];???? ????for(i=1;i=n;++i) { ???????low=1; ???????high=len; ? ???????while( low=high ) {???//二分 ???????????mid=(low+high)/2; ???????????if( data[i]dp[mid] ) { ????????????????low=mid+1; ???????????} ???????????else { ????????????????high=mid-1; ???????????} ???????} ? ???????dp[low]=data[i]; ???????if( lowlen ) { ????????????++len; ???????} ????}? ????return len;} 最长公共子序列（LCS） 给出两个字符串a, b，求它们的最长、连续的公共字串。 这很容易就想到以DP[I][J]表示A串匹配到I，B串匹配到J时的最大长度。则： 0??????????????????????????????I==0 || J==0 DP[I][J]=DP[I-1][J-1]+ 1??????????????????A[I]==B[J] ??????????MAX（DP[I-1][J]，DP[I][J-1]）???不是以上情况? 但这样实现起来的空间复杂度为O(n^2)，而上面的方程只与第I-1行有关，所以可以用两个一维数组来代替。以下是代码： ??????//最长公共子序列 const int SIZE=1001; int dp[2][SIZE];???//两个一维数组? //输入两个字符串，返回最大的长度 int LCS(const string a,const string b) { ?????int i,j,flag; ?????memset(dp,0,sizeof(dp)); ? 牋牋爁lag=1;et( 牋牋爁or(i=1;i=a.size();++i) {; s 牋牋牋牋爁or(j=1;j=b.size();++j) {strin 牋牋牋牋牋牋爄f( a[i-1]==b[j-1] )牋牋牋dp[flag][j]=dp[1-flag][j-1]+1;是优化版的代码：1] 牋牋牋牋牋牋爀lse牋牋牋牋燿p[flag][j]=MAX(dp[flag][j-1],dp[1-flag][j]);是优化版的代码：1]时就 牋牋牋牋爙牋爀lse 牋牋牋牋爁lag=1-flag;[flag 牋牋爙牋爁l ? 牋牋爎eturn dp[1-flag][b.size()];dp[ }? 01背包 ???有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的大小是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。 ???用DP[I][J]?表示前I件物品放入一个容量为J的背包可以获得的最大价值。则 ??DP[I][J]= DP[I-1][J]???????????????????????????????,JC[I] MAX（DP[