圆心角定理.doc

圆心角定理 (弧、弦、圆心角关系定理) 基本内容： 1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 2、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 3、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。 在理解时要注意： ⑴前提：在同圆或等圆中； ⑵条件与结论：在①两条弧相等；②两条弦相等；③两个圆心角相等中，只要有一个成立，则有另外两个成立。 基本概念理解： 1．在同圆或等圆中，若的长度＝的长度，则下列说法正确的个数是（ ） ①的度数等于；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧； ④所对的弦心距等于所对的弦心距。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在两半径不同的同心圆中，，则（ ） A． B． C．的度数=的度数 D．的长度=的长度 3．下列语句中，正确的有（ ） （1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦； （3）长度相等的两条弧是等弧； （4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 4．已知弦AB把圆周分成1:5的两部分，这弦AB所对应的圆心角的度数为 ． 5．在⊙O中，的度数240°，则的长是圆周的 份． 概念的延伸及其基本应用： 1．在同圆或等圆中，如果圆心角等于另一圆心角的2倍，则下列式子中能成立的是（ ） 2．在同圆或等圆中，如果，则与的关系是（ ） A． B． C． D． 3．在⊙中，圆心角，点到弦的距离为4，则⊙的直径的长为（ ） A． B． C．24 D．16 4．在⊙中，两弦，，分别为这两条弦的弦心距，则，的关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 5．已知：⊙O的半径为4cm，弦AB所对的劣弧为圆的，则弦AB的长为 cm，AB的弦心距为 cm． 6．如图，在⊙O中，AB∥CD，的度数为45°，则∠COD的度数为 ． 典型例题精析： 例题1、如图，已知：在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，求和的度数. 解：连结OC， 在Rt△AOB中，∠A=35° ∴∠B=55°，又∵OC=OB， ∴∠COB=180°-2∠B=70°，∴的度数为70°， ∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°， ∴的度数为20°. 说明：连结OC，通过求圆心角的度数求解。此题是基本题目，目的是巩固基础知识. 例题2、如图，已知：在⊙O中，=2，试判断∠AOB与∠COD，AB与2CD之间的关系，并说明理由. 分析：根据条件确定图形，观察、分析、猜想，特别是解：∠AOB=2∠COD， AB2CD，理由如下： 如图，在⊙O上取一点C ’，使=.∴∠COD=∠DOC’ ∵=2，∴，=+=. ∴AB=CC’. ∠AOB=∠CO C’=∠COD+∠DOC’=2∠COD 又∵在△CD C’中，CD+DC’ CC’，∴CC’ 2CD，即AB2CD. 说明：①证明两条线段的不等关系，常常把两条线段放到一个三角形中。 ②此题进一步理解定理及其推论的应用条件，在“相等”问题中的不等量.由=2可得∠AOB=2∠COD是正确的，但由=2得出AB=2CD，是错误的，培养学生在学习中的迁移能力. 例题3、如图，已知：AB是⊙O直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，求证：=. 分析：要证弧相等，可以证弧对应的弦相等，弧对应的圆心角相等. 证法一：连结AC、OC、OD、BD， ∵M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB， ∴AC= OC、OD=BD 又∵OC=OD，∴AC= BD，∴=. 证法二：连结OC、OD， ∵M、N分别是AO、BO的中点，∴OM=AO，ON=BO， ∵OA=OB，∴OM=ON， ∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴OC=OD， ∴Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COA=∠DOB，∴=. 证法三、如图，分别延长CM、DN交⊙O于E、F， ∵M、N分别是AO、BO的中点，∴OM=AO，ON=BO， ∵OA=OB，∴OM=ON， 又∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴CE=DF，∴= ∵=，=，∴=. 说明：此题是利用本节定理及推论应用的优秀题目，题目不难，但方法灵活，培养学生灵活解决问题的能力和基本的辅助线的作法. 例题4、如图，C是⊙O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD＝CO，若的度数为40°，求的度数． 分折： 要求的度数，可求它所对的圆心角∠BOE的度数，如图作辅助线，通过等量转换得出结果． 解： 连OE、OD并延长DO交⊙O于F． ∵的度数为40°，∴∠AOD=40°． ∵C