圆锥曲线动点问题.doc

圆锥曲线动点题 1、（12分）设、分别是椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值; （Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围 2、（12分）如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。 题（20）图 （Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； （Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。 3.、（本小题满分12分）.如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点. (1) 求点Q的坐标； (2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.如图两点分别在射线、上移动，且， 为坐标原点，动点满足． （1）求的值； （2）求点的轨迹的方程，并说明它表示怎样的曲线？ （3）若直线l过点交（）中曲线于、两点，且，求的方程是抛物线上上的一点，动弦、分别交轴于、两点，且．（1）若为定点，证明：直线的斜率为定值； （2）若为动点，且，求△的重心的轨迹． 6．已知，记点P的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程； （2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点. （i） 无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点，使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值. （ii）过P、Q作直线的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记，求λ的取值范围. 答案 1、解：（Ⅰ）解法一：易知 所以，设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 解法二：易知，所以，设，则 （以下同解法一） （Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线， 联立，消去，整理得： ∴ 由得：或 又 ∴ 又 ∵，即 ∴ 故由①、②得或 2、（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为，则，从而 因此焦点的坐标为（2，0）. 又准线方程的一般式为。 从而所求准线l的方程为。  （Ⅱ）解法一：如图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知 |FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 记A、B的横坐标分别为xxxz，则 |FA|＝|AC|＝解得， 类似地有，解得。 记直线m与AB的交点为E，则 所以。 故。 解法二：设，，直线AB的斜率为，则直线方程为。 将此式代入,得，故。 记直线m与AB的交点为，则 ， ， 故直线m的方程为. 令y=0,得P的横坐标故 。 从而为定值。 3.【解】(1) 解方程组 y=x 得 X1=－4, x2=8 y=x2－4 y1=－2, y2=4 即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1). 由kAB==,直线AB的垂直平分线方程y－1=(x－2). 令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5) (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x2－4). ∵点P到直线OQ的距离d==, ,∴SΔOPQ==. ∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, ∴－4≤x4－4或4－4x≤8. ∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30. 解：（）由已知得∴ ． （2）设P点坐标为），由得 ∴ 消去，可得， 又因∴ P点的轨迹方程为它表示轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支（）设直线l的方程为，将其代入C的方程得 即 易知（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意） 又设，则 ∵ l与C两个交点轴的右侧 ， ∴ ，即同理可得 ， 由得 ∴ 由得 由得消去得 解之得： ，满足 故所求直线l存在，其方程为：或（或）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用点的坐标将、点的坐标表示出来，进而表示出点坐标，消去即得到的轨迹方程（参数法）. 解：（1）法一：设，直线的斜率为（）， 则直线的斜率为，方程为． ∴由，消得， 解得，∴ ， ∴(定值)． 所以直线的斜率为定值． 法二：设定点，、， 由 得 ，即；同理 ． ∵ ，∴ ，即，∴ ． 所以，（定值）． （2）直线ME的方程为 由得 同理可得 设重心G（x, y），则有 消去参数得． 6、 解：（1）由知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为 （2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消y得， 解得k2 3 （i） ，