定积分不等式证明方法讲座.doc

定积分不等式证明方法 一 柯西不等式方法 利用柯西不等式证明的问题经常含有特殊的形态，比如涉及两个积分项相乘，或者含有函数平方、平方根的积分。 柯西不等式 设在上连续，则有 等号成立的充分必要条件是存在常数使得或者。注意有些问题（不一定在不等式证明中）会涉及到等号成立的条件。 例1 设在上连续，证明。 证明 在柯西不等式中设，即证。 例2 设在上连续，且恒正，证明 证明 在柯西不等式中设，取函数，可证。 例3 设在上具有连续导数，如果，求证 其中为在上最小值，。 证明 在柯西不等式中，分别设函数为，有 等式中，这是由推广积分中值定理得到： 设是上恒大于等于零的连续函数，如果在上连续，则存在使得 。 例4 在上具有连续导数，如果，求证 证明 因为，所以 由积分可加性，有 两边取定积分，得 。 例5 设在上连续，且，证明 。 证明 左边不等式由柯西不等式得。 由条件，有，所以 得 。 例6 设为上连续周期函数，周期为1，如果满足：，且，求证 。 以及取等号的条件。 证明 由条件，有 利用离散柯西不等式，有 。 且取等式充分必要条件是： ， 即。所以 。 特别当时，有 根据周期性，以及，有 ， 所以取等号充分必要条件是。 注 本题并不是利用连续型柯西不等式方法证明结论，而是利用离散型柯西不等式方法证明结论，但问题是在利用柯西不等式时采用了“一般人”想不到的“技巧”，这种技巧并不明显。确实柯西不等式形式上是简洁的，但对于什么样不等式，我们会想到采用柯西不等式来证明呢？这才是问题的所在，回答它并不容易。当然这地方可以避免使用离散型柯西不等式证明：，而是利用导数方法证明。 二 常数变异法 将区间某端点看成变量（或者转换为变量），然后利用上限函数求导。此类定积分不等式问题中，通常含有某些函数满足连续、单调条件，此时可以通过将上限或下限涉及到的常数符号，在整个不等式中换成与变量积分变量无关的变量，然后作辅助函数，再通过求导对辅助函数的单调性进行研究。 例1．设在上连续，且单调增加，证明 分析 将定积分不等式视为数值不等式，可利用相应的函数不等式的证明方法证明，将要证的不等式两端做差，并将上限换成，作辅助函数如下 如果证明，即证得原命题。 证明 对求导，得 由于在上单调增加，且因为，所以有，再根据定积分性质，有。由此知在上单调增加，则，得，得证。 例2 设在上连续，，且单调增加，证明 存在使得 分析 假设结论成立，则有，而由上例知道，此不等式成立。再由，且单调增加，知在上满足，则由推广积分中值定理有使得，如此得 即可证明结论。 例3 设在上有连续导数，且求证 证明 设辅助函数 则 。 设，则 因为，所以严格单调递增，且，所以 。又因为，所以得，由此得： 所以有，得，即得 。 注 当时，此题为94北方交通大学数学竞赛试题，美国数学竞赛试题。 例 4 设在上连续，如果对于任意在上有一阶连续导数，且在点取值为零的函数，都满足 ， 求证 可导，且。 证明 设，则有 由条件得 下证，在上与恒等。 采用反证法，如果存在，使得（同理可证情况） ，则由连续性有，存在，使得在(或者，或者，下面仅对第一种情况说明)且在此区间上。构造函数满足：在取常值，在上取零，在内单调递增，则在上有。由此由定积分性质得 矛盾。所以得在上与恒等，即证得题中命题。 三 微分中值定理方法 当题目条件含有一阶以上连续导数时，可考虑微分中值定理证明方法。 例1（前苏联竞赛题）设在上有一阶连续导数，求证 其中为在上的最大值。 证明 利用拉格朗日中值定理得： 所以有 则由定积分性质得 。 习题 1. 设在上有一阶连续导数，求证 其中为在上的最大值。 2.（1985陕西省高校数学竞赛试题）设在上有一阶连续导数，满足，。求证 。 解 由已知条件有 所以有 与 由此 . 与 ， 得证。 3.（前苏联竞赛试题） 在区间是否存在函数使其有一阶连续导数，且满足： ， ，。 解 利用题2，有 如果存在，使得，则 ， 矛盾，所以，；同理，。但此时在处不可导，矛盾。 由此不存在这样函数。 4. 在区间是否存在函数使其有一阶连续导数，且满足：， ，。 5. 设在上存在连续的阶导数，且有 ， 则存在使得 。 是否存在函数使其有一阶连续导数，且满足：， ，。 四 凹凸性利用 当题目条件给出二阶导数符号时，可考虑函数凹凸性方法 例1 设在上有二阶连续导数，且在上有，求证 证明 因为在上有，所以函数为凹函数，即对于任意有 所以有 。 五 重积分法 对含有形式的不等式可考虑将转化为形式。然后再利用相关性质进行证明。 例1 设为上的单调增加的连续函数，如果，证明 证明 将不等