密克定理是几何学中关于相交圆的定理.doc

密克定理是几何学中关于相交圆的定理。1838年，奥古斯特·密克叙述并证明了数条相关定理。许多有用的定理可由其推出。 1. 定理陈述 三圆定理：设三个圆,交于一点，而, 分别是和,和, 和的另一交点。设为的点，直线交于，直线交于。那么, N,C这三点共线。 逆定理：如果是三角形，, N,P三点分别在边, BC,CA上，那么三角形, △BMN, △CNP的外接圆交于一点。 完全四线形定理：如果是完全四线形，那么三角形, △EBC,△FAB △FDC的外接圆交于一点，称为密克点。 四圆定理：设,为四个圆，和是和的交点，和是和的交点，和是的交点，和是和的交点。那么,,四点共圆当且仅当,,四点共圆。 五圆定理：设为任意五边形，五点,分别是的交点，那么三角形的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆，而且穿过这些交点的圆也穿过五个外接圆的圆心。 逆定理：设,五个圆的圆心都在圆上，相邻的圆交于上，那么把它们不在上的交点与比邻同样的点连起来，所成的五条直线相交于这五个圆上。葛尔刚点△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于F、D、E，则AD、BE、CF三线共点，此点即为葛尔刚点 Newtons Theorem 　　特指平面几何中的牛顿定理 　　牛顿线：和完全四边形四边相切的有心[1]圆锥曲线的心的轨迹是一条直线,是完全四边形三条对角线中点所共的线。（涵盖了圆外切四边形的对角线中点连线过圆心的定理) 　　牛顿定理1：完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。 　　四边形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中点M,AC中点L,EF中点N 　　证明： 　　取BE中点P,BC中点R,PN∩CE=Q ?? 牛顿定理1 R,L,Q共线 　　QL/LR=EA/AB M,R,P共线 RM/MP=CD/DE 　N,P,Q共线 　PN/NQ=BF/FC 　　三式相乘得: QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC 　　由梅涅劳斯定理 QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1 　　由梅涅劳斯定理的逆定理知:L,M,N三点共 　证毕 故牛顿定理1成立 　　牛顿定理2 圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。 　　证明： 　设四边形ABCD是I的外切四边形，E和F分别是它的对角线AC和BD的中点，连接EI只需证它过点F，即只需证BEI与DEI面积相等。 ?? 牛顿定理2图 显然，SBEI=-S△BIC+S△CEI+S△BCE，而SDEI=-S△ADE+S△AIE+S△AID。 　　注意两个式子，由ABCD外切于I，AB+CD=AD+BC，SBIC+S△AID=1/2*S四边形ABCD，SADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四边形ABCD 　　即SBIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移项得SBIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中点，SCEI=S△AEI，故SBIC-S△CEI-S△BCE=S△ADE-S△AIE-S△AID，即SBEI=△DEI，而F是BD中点，由共边比例定理EI过点F即EF过点I，故结论成立。 证毕。 　　牛顿定理3 圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。 　　证明 　设四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA与内切圆分别切于点E,F,G,H. 首先证明,直线AC,EG,FH交于一点.设EG,FH分别交AC于点I,I. 显然 AHI‘=∠BFI ’ 　　因此易知 AI*HI/FI*CI=S(AIH)/S(CIF)=AH*HI/CF*FI 　　故 AI/CI=AH/CF. 　　同样可证:AI/CI=AE/CG 　　又AE=AH,CF=CG. 　　故AI/CI=AH/CF=AI/CI. 　　从而I,I重合.即直线AC,EG,FH交于一点. 　　同理可证:直线BD,EG,FH交于一点. 因此 直线AC,BD,EG,FH交于一点. 证毕。等角共轭点描述一：三角形内一点P,过A做直线L1与AP关于角A的角平分线对称,同样过B,C分别做L2,L3.这三条直线交于P1,则P1是P的等角共轭点； 　　描述二：设P、Q是三角形ABC内两点，∠PAB=∠QAC,∠PBC=∠QBA,∠PCB=∠QCA,满足题设条件的两点P、Q称为△ABC的等角共轭点。3．圆外切四边形的对边之和相等。 命题1 如图，证明 。 证明：根据交比的定义和圆的性质，得 4．托勒密定理：圆内接四边形的对边之积的和等于对角线之积。 证明一 在BD上选一点E，使得∠BAC=∠EAD。 在ΔABC和ΔAED中， ∵ ∠BAC=∠EAD，