常用算法(八)动态规划法.doc

常用算法——动态规划法 八、动态规划法 经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。 为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。以下先用实例说明动态规划方法的使用。 【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列 问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列i0，i1，…，ik-1，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。 给定两个序列A和B，称序列Z是A和B的公共子序列，是指Z同是A和B的子序列。问题要求已知两序列A和B的最长公共子序列。 如采用列举A的所有子序列，并一一检查其是否又是B的子序列，并随时记录所发现的子序列，最终求出最长公共子序列。这种方法因耗时太多而不可取。 考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质： （1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列； （2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列； （3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。 这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。 定义c[j]为序列“a0，a1，…，ai-2”和“b0，b1，…，bj-1”的最长公共子序列的长度，计算c[j]可递归地表述如下： （1）c[j]=0 如果i=0或j=0； （2）c[j]= c[i-1][j-1]+1 如果I，j0，且a[i-1]=b[j-1]； （3）c[j]=max（c[j-1]，c[i-1][j]） 如果I，j0，且a[i-1]!=b[j-1]。 按此算式可写出计算两个序列的最长公共子序列的长度函数。由于c[j]的产生仅依赖于c[i-1][j-1]、c[i-1][j]和c[j-1]，故可以从c[m][n]开始，跟踪c[j]的产生过程，逆向构造出最长公共子序列。细节见程序。 # include stdio.h # include string.h # define N 100 char a[N],b[N],str[N]; int lcs_len(char *a, char *b, int c[ ][ N]) { int m=strlen(a), n=strlen(b), i,j; for (i=0;i=m;i++) c[0]=0; for (i=0;i=n;i++) c[0]=0; for (i=1;i=m;i++) for (j=1;j=m;j++) if (a[i-1]==b[j-1]) c[j]=c[i-1][j-1]+1; else if (c[i-1][j]=c[j-1]) c[j]=c[i-1][j]; else c[j]=c[j-1]; return c[m][n]; } char *buile_lcs(char s[ ],char *a, char *b) { int k, i=strlen(a), j=s