应物09 2012量子物理学A.doc

2011─2012学年 第二学期 《量子物理学》课程考试试卷(A卷) 专业：应物 年级：09级 考试方式：闭卷 学分：4 考试时间：110 分钟 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 得分 . 填空题 (每空2 分，总分20分) 1. 根据德布罗意关系式，微观粒子都具有波粒二象性。其表示式为E= ；= 2. 粒子所带电荷为q，则其电荷流密度的公式表示为：= 3. 粒子的坐标与动量的对易关系为： 4. 属于角动量平方算符的本征值为： 5. 电子自旋算符的矩阵表示：. 6. 粒子数算符，和分别为产生算符和湮灭算符。在以为基矢的占 有数表象中，有 7. 氢原子的状态波函数来描述，其中的m为 量子数。 8. 已知幺正变换矩阵，则 . 9. 势垒贯穿效应中粒子的透射系数为D，则反射系数的表达式为： 得分 ． (每个5分，共计20分) 1. 波函数的统计解释 2. 量子力学中守恒量概念，定态概念与它们的区别 3. 电子自旋概念和自旋角动量的本征值 4. 全同粒子的概念和全同性原理的涵义 得分 ． (10分) 厄米算符的本征值为，请证明必为实数 得分 四． (15分) 一粒子在一维势场中运动，求：（1）粒子的能级；（2）相应的归一化波函数。 得分 ． (15分) 设时粒子的状态为，求此时粒子的：（1）平均动量；（2）平均动能。 得分 六． (20分) 已知在和的共同表象中，算符矩阵表示为：。求它们的本征值和归一化的本征函数。 2011─2012学年 第学期《》 课程考试试卷(A卷)参考答案及评分标准 一、 (每空2分，共计20分) 1. 或；或 2. 3. 4. 5. 6. 7. 磁 8. 或(I是单位矩阵) 9. 1-D 二、也称为几率波幅。根据波函数的统计解释，粒子在空间各点的概率之和为1，即：，称为波函数的归一化条件。 2. 答：定态是体系的一种特殊的状态，即能量本征态。在定态下，一切力学量（不显含t，但不管是不是守恒量）的平均值和测值概率都不随时间改变。守恒量是指在任何态下，也即一切状态下（不管是否定态），力学量的期望值与测值概率不随时间变化。 3. 答：电子自旋及相应的磁矩是电子本身的内禀属性，所以也称为内禀角动量与内禀磁矩。其性质类似于轨道角动量与轨道磁矩，自旋可以与之相互耦合。自旋角动量在空间任何方向的投影只能取两个数值。 4. 答：将质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。全同性原理：全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变，它是量子力学的基本原理之一。全同粒子系的任何可观测量对于两个粒子交换都是对称不变的。 三、表示厄米算符的本征值，设表示其所属的本征函数，根据本征方程： 上式左乘并对全空间积分得： 取的复共轭得： （5分） 由于算符为厄米算符，因此，代入上式中可得： 厄米算符的本征值等于，说明为实数。 （5分） 定理得证。 四、），定态薛定谔方程为： 为粒子质量。令，上面的方程化为： （5分） 方程的通解可以表示为：；与为待定积分常数。因为势垒无限高，从物理上考虑，粒子不能透过井壁。按照波函数的统计诠释，要求在阱壁上及阱壁外波函数为0，特别是： 与，此即为波函数的连续性条件。 将条件带入通解条件中得：和 解得与， 将代入得到：， （5分） （2） 对应与能级的波函数记为： ，利用归一化条件： 可得：归一化常数；则得到归一化的波函数为： （5分） 五、， 可得到： （5分） 表明粒子所处的状态实际上是由5个平面波线性叠加而成的叠加态，根据态迭加原理，此时粒子动量有5个可能取值，它们的取值及相应的几率分别是： （5分） 由此可得粒子动量与动能的平均值分别为： ；