斯坦纳---莱莫斯定理的一般推广.doc

斯坦纳—莱默斯定理的一般推广 （安徽省马鞍山市第二中学当涂分校 孙世宝 243100） 摘要：本文利用三次方程根的理论，给出了斯坦纳—莱默斯定理的一种较为 普遍的推广，并给出了几个具体的计算实例. 关键词：斯坦纳定理 一般推广 三次方程 零点定理 高线 内角平分线相等的三角形是等腰三角形，这就是著名的斯坦纳—莱默斯定理. 下面笔者给出斯坦纳—莱默斯定理的一种推广，并证实文献[1]中提出的几个相关猜测. 如图1，在中，为边上一定点， 为直线上一动点.直线交直线于， 直线交直线于, 且. 不妨记三边长为边上的高为， 外接圆半径为 且设 则 今用这些符号来表征等式： （先假设在线段上，；在直线上别的位置下述方程①也是成立的 ） 对的截线应用梅内劳斯定理知 于是 同理可求得 在和中分别应用余弦定理，可将等式转化为： . 即 ① 可以验证，故含因子，由综合除法可求得其另一因子为： . 等式①两端约去因子得方程： 记上述方程为 ② 利用，并考虑到射影定理（）得： ， 今假设，现在讨论方程②的根的情况：考虑以下三种情形. 1．= 方程②变为： 但此时且为线段的中点，故四边形为平行四边形， ∥，∥ 可见直线上只有合于时， 才有成立，此时 2. 此时 方程②在有一根，从而在上至少有一根. 考虑如下两种情形： 1）当时； 方程②即在有一根，上有两根，故方程在上无根. 2）当时. 方程②在上各有一根. 3. 此种情形稍微复杂一些，需用到一些微积分的知识. 此时 ③ 方程②在上至少有一个根，从而在上至少有一个根 下面给出一般三次方程②根的情形（参见[1]）： ，方程②有三不等实根；，方程有实的重根；时，方程有一实根及二共轭虚根. 这里，它通常被称为三次方程②之判别式. 引理：情形3下方程② 满足如下条件之一， 在区间上有根： 1）（有一根，另两个属于）； 2），且不同时为； 3） 证明：1）利用零点定理是显然的，在各有一根； 2）由方程②有三个实根. 不妨设为 又由 得到： 知 i）若则不难得到（这与不同时为矛盾）； ii）若则即 而 这样这是个矛盾！综合上述两点此时根 3）证明同2），不再赘述. 反之方程在上有根，必满足上述3条件之一.（也可以通过三次曲线图象，直接得到） 定理1：方程②若在上无根时，则推广的斯坦纳—莱默斯型定理成立，即有 下面用上述结果给出几个结论： 猜想1. （文献[2]中猜想6.4.2）在中，分别是上的点，交于点， 且为的外接圆的直径，当点落在半径内时，不一定等于 下面证明此时必有 证明：如图1中，直径交线段于，下面证明在上时，结论正确. 其余假设同前，（如）当在点或延长线上时，文献[1]中已证结论成立. 故只需考虑在线段内时，此时为锐角三角形. 由 此时 故有 且 由前述情形2.1知方程②在上无根，即直线内无点使；同理时也是如此. 这些都与内存在点使矛盾，所以必有 猜想2. （猜想6.4.1）在中，分别是上的点，交于点， 且 若在边的周界中线上，则 证明： 显见 故 于是 同猜想1后部分论述知有 利用情形3下面证明如下的结论： 定理2. 在中，分别是边上的点，交于点， 且 若在边的高线上，且时，则 证明：此时在图1中，都为锐角，同前假设， 且 ， 由此计算出方程②中， 此时 属于前述情形3. 以下令， 而在中成立关系式：. 由此可见时， ； 当时， 故. 于是 综合这两种情况知时，均有方程②的判别式，方程②仅在上 有唯一的实根，从而在上无根，即线段内无点使成立，故假设 不成立（也同样不成立），所以必有 定理2证毕. 此结论改进了文献[1]中习题6.2的题目7（2）（要求）. 由定理1的证明可得如下的结论： 推论 在中，分别是边上的点，交于点， 且 若在边的高线上，当时，有 定理3. 在非等腰中，是边上的高（在边的内部），当 时，则在高内存在两个这样的点， 若 有： 证明：假设（计算见定理1中） 由. 由 可见： 又故由情形3中方程②在上有根的条件引理2）知， 方程②在上有两不等根，定理2得证. 参考文献: H.奈茨主编，石胜文译.《数学公式》.海洋出版社.1983年第一版，第45页. 郭要红、戴普庆中学数学研究 安徽大学出版社，1998年11月第1版. 作者简介 孙世宝，1971年生，男，安徽省马鞍山市当涂县第二中学数学教师，奥数之家“组合与数论”版主， 中国初等数学研究小组成员研究方向：初等不等式，初等