方程的加速迭代法.doc

2013-2014（1）专业课程实践论文 题目：方程的加速迭代方法 一、算法理论 加速迭代算法基本原理： 对于收敛的迭代过程，只要迭代足够多次，就可以使结果达到任意的精度。但有时迭代过程收敛缓慢，从而使计算量变得很大，因此，迭代过程的加速是个重要的过程。 设是跟的某个预测值，只迭代公式校正一次,而由微分中值定理有：（其中介于与之间）。 假定改变不大，近似的取某个近似值，则由得到,可以期望按上式右端求得是比更好的近似值，将每得到一次改进值算做一步，并用和分别表示第步的校正值和改进值，则加速迭代计算方案可表述如下： 校正： 改进： 然而上述加速公式有个缺点，由于其中含有倒数的有关信息L，实际使用不便。 仍设已知的某个猜测值为，将校正值,再校正一次，又得。由于将它与式 联立，消去未知L，然后有 这样构造出的改进公式确定不再含有关于导数的信息，但是它需要用2次迭代值进行加工，如果将得到一次改进值作为一步，则计算公式如下： 校正： 再校正：改进： 上述处理过程称为方法。如下用2个题说明： 例题（1）用加速迭代算法通过编程计算在[1,2]内的近似根，要求精度达到。例题（2）用加速迭代算法通过编程计算在[1，2]内的近似根，要求精度达到。 二、算法框图 三、算法程序 （1）题程序： #includeiostream #includecmath double s(double t) { return (t*t*t-1); } using namespace std; int main() { int i; double x,x0,x1,x2,e; cout请输入迭代初始值x0,和控制精度eendl; cinx0e; i=0; while(fabs(x0*x0*x0-x0-1)e) { i++; x1=s(x0); x2=s(x1); x0=x2-(x2-x1)*(x2-x1)/(x2-2*x1+pow((x1+1),1.0/3.0)); } x=x0; cout近似根x=xendl; cout所需迭代次数i=iendl; return 0; } （2）题程序： #includeiostream #includecmath double s(double t) { return (t*t*t-2); } using namespace std; int main() { int i; double x,x0,x1,x2,e; cout请输入迭代初始值x0,和控制精度eendl; cinx0e; i=0; while(fabs(x0*x0*x0-x0-2)e) { i++; x1=s(x0); x2=s(x1); x0=x2-(x2-x1)*(x2-x1)/(x2-2*x1+pow((x1+1),1.0/3.0)); } x=x0; cout近似根x=xendl; cout所需迭代次数i=iendl; return 0; } 四、算法实现 例1. 用加速迭代算法通过编程计算在[1,2]内的近似根，要求精度达到。 解：运行程序 （1）输入的初始值是1.5以及精度值0.0001.然后按回车。 （2）得到结果近似根1.32472，所需迭代次数为5次。 当精度达到0.0001时，程序运行结果如下图： 迭代法是将迭代值在迭代一次，此时对于发散的迭代公式，经过迭代法处理后却获得了相当好的收敛性。 例2. 用加速迭代算法通过编程计算在[1,2]内的近似根，要求精度达到0.1。 解：运行程序 （1）首先输入的初始值是2，以及精度值0.1按回车。 （2）得到结果近似根1.53466，迭代次数为19 当精度达到0.1时，程序运行结果如下图：