机械振动复习题及解答.doc

1、某测量低频振动用的测振仪（倒置摆）如下图所示。试根据能量原理推导系统静平衡稳定条件。若已知整个系统的转动惯量，弹簧刚度，小球质量，直角折杆的一边。另一边。试求固有频率。 解：弹性势能 , 重力势能 总势能 代入可得 可求得满足上式。 再根据公式判别位置是否稳定及其条件： 即满足条件时，振动系统方可在位置附近作微幅振动。 系统的动能为 代入可得 由为稳定位置，则在微振动时，可得线性振动方程为： 固有频率 代入已知数据，可得 2、用能量法解此题：一个质量为均匀半圆柱体在水平面上做无滑动的往复滚动，如上图所示，设圆柱体半径为R，重心在c点,oc=r,，物体对重心的回转体半径为L，试导出运动微分方程。 解：如图所示，在任意角度（t）时，重心c的升高量为 =r（1－cos）=2rsin 取重心c的最低位置为势能零点，并进行线性化处理，则柱体势能为 V=mg=2mg r sin mgr （a） Ib=Ic+m2=m(L2+2) （b） 2=r2+R2-2rRcos(t) （c） 而柱体的动能为 T=I 把（b）式，（c）式两式代入，并线性化有 T=m[L＋（R－r）] （d） 根据能量守恒定理，有 m[L＋（R－r）]＋mgr=E=const 对上式求导并化简，得运动微分方程为 [L＋（R－r）]＋gr=0 （e） 3、一质量为、转动惯量为的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧约束，如所示，求系统的固有频率。 解：取圆柱体的转角为坐标，逆时针为正，静平衡位置时，则当有转角时，系统有： 由可知： 解得 （rad/s） 解 1）建立广义坐标。设槽圆心O与圆柱轴线O1的连线偏离平衡位置的转角为广义坐标，逆时针方向为正。 2）写出系统的动能和势能。圆柱的动能由两部分组成，即它跟随质心的移动动能和绕质心转动的动能，而质心的速度为，圆柱相对于质心的角速度，因此系统的动能为 若取系统静平衡时的势能为零，则在一般位置系统的势能为 U=mg(R-r)(1-cos) 3）利用能量守恒原理得到 当系统作微小振动时 很小，sin，不恒等于零，方程就简化为 。 5、单圆盘转子如图（a）所示，可化简为图（b）所示的简支梁系统，求其在跨度中点垂直方向的刚度及系统的自然频率。 解：当忽略轴的质量时，系统简化为图（b）的模型，这是一个弯曲变形振动问题。为了求其刚度，按照材料力学中的公式，其跨度中点在集中力P的作用下，产生的挠度y为 则由k=P/y得到 系统可进一步简化为“m-k”系统，则单自由度系统的自然频率为 6、机械式振动仪原理图如图所示。支承于水平轴的摆连接一个刚度为的螺线弹簧，在重力作用下摆的平衡位置偏离水平线成角。设摆在水平线上方成角处，螺线弹簧不受力。摆的质量为，它绕轴的转动惯量为，摆重心至轴的距离为,摆可围绕平衡位置作微幅振动，求其固有频率。 振动仪原理图 解： 方法一： 当摆处于平衡位置时，有 摆的微振动角位移记为，由动量矩定理，可得摆的运动微分方程为 考虑到式，并精确到一阶小量，上式可线性化为 因此，摆的振动固有频率为 方法二：能量法 由于不考虑阻尼，因而系统的机械能守恒。这时系统的动能和势能可以分别表示为 由,可得 因此，摆的振动固有频率为 7、例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞,梁长 L，抗弯刚度 EJ 其中给出 由材料力学 ： 求：梁的自由振动频率和最大挠度 解： 取平衡位置 以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系 静变形： 自由振动频率为 ： 撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有： 则自由振动振幅为 ： 梁的最大扰度： 8、质量m=0.5Kg的物块，沿光滑斜面无初速度滑下，如上图所示。当物块从高度h=0.1m时撞于弹簧上并不在分离。弹簧的刚度系数为k=0.8KN/m,倾角β=30°，求此系统的固有频率和振幅，并写出物块的运动方程。 解：物块平衡时，弹簧的变形为 (1) 以物块平衡位置O为原点，建立图示x坐标。物块受力如图所示，其运动微分方程为 将式（1）带入上式，化简后得 系统的固有频率为 当物块碰上弹簧时，取时间t=0,作为