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二次曲面的标准型
第8章
§8.5 二次曲面的标准型
§8.5.1 坐标平移
§8.5.2 坐标旋转
§8.5.3 二次曲面的标准型
二次曲面的举例
三元二次方程
Ax 2 By 2 Cz 2 2Dxy 2Eyz 2Fzx
Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为0 )
的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍.
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
2 2 2
1. 椭球面 x 2 y 2 z 2 1 ( a,b,c 为正数)
a b c
(1)范围：
x a, y b, z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
2 2 2 2 2 2
x y y z x z
1 1 1
2 2 2 2 2 2
a b , b c , a c
z 0 x 0 y 0
2 2 2
x 2 y 2 z 2 1 ( a,b,c为正数)
a b c
(3) 截痕: 与z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
z
2 2
x y
1
a2 2 2 b2 2 2
2 (c z1 ) 2 (c z1 )
c c
z z1
同样 y y 1 ( y 1 b ) 及 的截痕
也为椭圆.
(4) 当a ＝b 时为旋转椭球面; 当a ＝b ＝c 时为球面.
2. 抛物面
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