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第三节 二维连续型随机变量
1.二维连续型随机变量及概率密度
2. 二维均匀分布和二维正态分布
小结：
3. 二维连续型随机变量的边缘概率密度
4. 二维连续型随机变量的条件概率密度 特别提示：
5. 二维连续型随机变量的独立性 P {(X , Y ) G} f (x , y )dxdy
一、二维连续型随机变量
G
1）定义：对于二维随机变量( X , Y ) 分布函数F (x , y ) ，如果存在非负函
数f (x , y ) ，使得对于任意的x ，y 有：
y x
F (x , y ) f (u, v)dudv ,
则称( X ,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数f (x , y )称为二维随机变量
( X , Y ) 的概率密度，或称为X 和Y 的联合概率密度。
2) 概率密度的性质：
10 f (x , y ) 0 ;
20 f (x , y )dxdy F (,) 1 ;
3 0 若f (x , y )在点(x , y )连续，则有
2
F (x , y ) 这个公式非常重要！
f (x , y ).
xy
40 设G 是平面上的一个区域，点( X ,Y )落在
P {(X , Y ) G} f (x , y )dxdy.
G 内的概率为：
G
P {(X , Y ) G} f (x , y )dxdy.
几何解释 G P {(X , Y ) G}
在几何上z =f (x , y ) 表示空间曲面。
的值等于以G 为底， z f (x , y )
以曲面 为顶面的柱体体积。
随机事件的概率= 曲顶柱体的体积=密度函数在区域G上的二重积分
f (x , y )dxdy F (,) 1
几何意义：
介于曲面z=f (x, y )和xoy 平面的空间区域的体积为1。
例1 设二维随机变量(X , Y)的概率密度为
3 x 4y
f (x , y ) ce x 0，y 0 分片函数非
0 其它 零区域
⑴求常数c；(2) 求(X , Y) 的联合分布函数；
(3) 求P {0 X 1，0 Y 2}. (4) P {X Y 1 } ．
⑴由密度函数的性质，得
解：
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