卡尔曼滤波学习及应用——何富君编辑.pdf

卡尔曼滤波的学习与应用 何富君编辑 目录 一 卡尔曼滤波的初步认识 2 1.1 关于卡尔曼 2 1.2 卡尔曼滤波器的举例说明 2 1.3 卡尔曼滤波器算法 3 1.4 简单例子 3 二 卡尔曼滤波的实现 5 2.1 卡尔曼滤波的基本假设： 5 2.2 卡尔曼滤波基本公式 6 2.3 卡尔曼滤波参数的估计和调整 7 2.4 卡尔曼滤波初始化 8 3 扩展卡尔曼滤波 10 3.1 扩展卡尔曼滤波的公式为： 11 3.2 另一种扩展卡尔曼滤波表示 12 4 卡尔曼滤波的相关知识 14 4.1 线性系统 14 4.2 泰勒级数展开 14 4.3 雅可比矩阵 15 5 卡尔曼滤波应用 16 1 一 卡尔曼滤波的初步认识 1.1 关于卡尔曼 在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼” 。跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒 级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！ 卡尔曼全名 Rudolf Emil Kalman ，匈牙利数学家，1930 年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954 年 于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957 年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学 习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和 1960 年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载： /~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm （最优化自回归数据处理 算法）” 。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30 年， 包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用 于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。 1.2 卡尔曼滤波器的举例说明 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书 那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的 5 条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡 尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那 5 条公式。在介绍他的 5 条公式之前，先让我们来根据下面 的例子一步一步的探索。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下 一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是 100% 的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise ），也就是这 些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution ）。另外，我们在房间里放一个温 度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。 好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值） 和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。 假如我们要估算 k 时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1 时刻的温度值，来预测k 时刻的温度。因为 你相信温度是恒定的，所以你会得到 k 时刻的温度预测值是跟k-1 时刻一样的，假设是 23 度，同