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圆内接四边形性质及应用小论文
圆内接四边形性质及其应用研究
第一小组
目录
引言 2
1. 圆内接四边形性质2
1.1 对角互补 2
1.1.1 应用——求角的度数 2
1.2 相交弦定理3
1.2.1 应用——证明角相等 3
1.3 性质1 4
1.4 性质2 4
1.5 托勒密定理5
1.5.1 应用——求证线段之间的关系6
1.5.2 应用——求圆内接四边形的对角线长7
1.6 三弦定理8
1.6.1 应用--求线段比例 8
1.7 余弦定理 （求内角公式）9
1.8 性质3 10
1.8.1 应用——证明线段位置关系10
1.8.2 应用——证明点共圆问题11
2. 特殊圆内接四边形性质 12
2.1 有一组邻边相等的圆内接四边形。12
2.2 对角线互相垂直的圆内接四边形12
2.3 对边等比的圆内接四边形 16
3.一个典型习题及有趣的结论18
总结 19
参考文献20
第 1 页 共 20 页
圆内接四边形性质及其应用研究
第一小组
引言
众所周知，圆是初高中的一个极其重要的知识点，经常出现于普通几何 （证
明）与解析平面几何 （计算）内容中。在解题中，圆通常并非 “一人”出现，它
总是伴随着它的“小伙伴们”，例如：三角形，四边形，复杂的多边形等等。我
们小组这次的研究方向是圆内接四边形的性质及其应用，我们将从圆内接四边形
的普遍性质、特殊的圆内接四边形的性质两方面入手，展开研究。
1.圆内接四边形性质
1.1对角互补
圆内接四边形各组对角互补。
如图，四边形 内接于 ，则 .
ABCD O AC 180
证明：如图，由圆周角定理可知
1 1
A 1,C 2
2 2
1 1
则AC (12) 360 180
2 2
评析：证明过程利用了圆周角等于同弧所对圆心角一半的性质，很容易就能
证得结论，但这一简单性质在几何证明中有着广泛应用。
1.1.1 应用——求角的度数
如图，四边形ABCD为 的内接四边形，已知BOD 150，
O
求BAD 和BCD 的度数.
解：BOD 150BAD 75
又 四边形ABCD 内接于 ，对角互补
O
BCD 105
第 2 页 共 20 页
点评：关于圆内接四边形的这一对角互补的性质，常用于数学试卷中的填空
题部分，结合这一性质再与其他角度关系相结合，构造综合性题目。
1.2 相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
ABCD AD BC
如图，四边形 是
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